Τετράγωνο 3

Συντονιστής: Πρωτοπαπάς Λευτέρης

Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Τετράγωνο 3

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Δευ Οκτ 19, 2009 11:58 pm

Έστω η εξίσωση {z^2} - 2\left( {2 + i} \right)z + 18 - 4i = 0, z ανήκει στο C. Αν οι εικόνες των ριζών της παραπάνω εξίσωσης, είναι απέναντι κορυφές τετραγώνου, τότε να υπολογίσετε το \left| {{z_1} - {z_2}} \right|
και το εμβαδό του τετραγώνου. (z1,z2 οι λύσεις της εξίσωσης)


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2825
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Τετράγωνο 3

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Τρί Οκτ 20, 2009 1:40 am

Η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι Δ = 4(8i - 15), με τετραγωνικές ρίζες 2 + 8i και -2 - 8i,
οπότε από τον τύπο των ριζών z_{1}= 1 - 3i, z_{2} = 3 + 5i.
Συνεπώς: \left|z_{1}-z_{2} \right|=\sqrt{68}
τελευταία επεξεργασία από Πρωτοπαπάς Λευτέρης σε Τρί Οκτ 20, 2009 1:19 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Χρηστος
Δημοσιεύσεις: 152
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 08, 2009 11:27 am
Τοποθεσία: ΛΕΥΚΑΔΑ -ΓΙΑΝΝΕΝΑ

Re: Τετράγωνο 3

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Χρηστος » Τρί Οκτ 20, 2009 11:24 am

Οχι μέτρα στις ρίζες


Χρήστος Λώλης
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2825
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Τετράγωνο 3

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Τρί Οκτ 20, 2009 1:18 pm

Προφανώς!!!


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Τετράγωνο 3

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Τρί Οκτ 20, 2009 1:54 pm

lepro με ενδιαφέρει μια σχολική προσέγγιση. Η διακρίνουσα σε δευτέρου βαθμού εξίσωση συναντάτε σχολικά όταν οι συντελεστές είναι πραγματικοί.


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2825
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Τετράγωνο 3

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Τρί Οκτ 20, 2009 10:54 pm

Μια σχολική προσέγγιση, λοιπόν.
Θέτουμε z = x + yi, x,y\epsilon R στην εξίσωση και βρίσκουμε το σύστημα:
x^{2}-y^{2}-4x+2y+18=0 και 2xy-2x-4y-4=0.
Η λύση του συστήματος είναι (x, y)=(1, -3) ή (x, y) = (3, 5),
οπότε z_{1}= 1 - 3i, z_{2} = 3 + 5i.
Συνεπώς: \left|z_{1}-z_{2} \right|=\sqrt{68}.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Άβαταρ μέλους
Βασίλης Καλαμάτας
Δημοσιεύσεις: 199
Εγγραφή: Τρί Απρ 14, 2009 10:50 am
Τοποθεσία: Λαμία

Re: Τετράγωνο 3

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Βασίλης Καλαμάτας » Τρί Οκτ 20, 2009 11:06 pm

Βασίλη με παίδεψες :mrgreen: :mrgreen: :mrgreen: , είπα να μη βρω τα z_{1},z_{2} , να μη χρησιμοποιήσω άλλα πράγματα που δε γράφει το σχολικό και ταλαιπωρήθηκα αρκετά.....
Οι ρίζες προφανώς ικανοποιούν την εξίσωση άρα προκύπτουν οι σχέσεις
z_{1}^{2}-(4+2i)z_{1}+18-4i=0 (σχέση 1)
z_{2}^{2}-(4+2i)z_{2}+18-4i=0 (σχέση 2).

Αν τις αφαιρέσουμε (και βγάζοντας κοινό παράγοντα το z_{1}-z_{2} ) προκύπτει η σχέση
(z_{1}-z_{2})[(z_{1}+z_{2})-(4+2i)]=0 από την οποία επεοδή z_{1}\neq z_{2} μας δίνει το άθροισμα των ριζών z_{1}+z_{2}=4+2i (σχέση 3).

Αν τις προσθέσουμε z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-(4+2i)(z_{1}+z_{2})+36-8i=0 που με τη χρήση της σχέσης 3 και την ταυτότητα z_{1}^{2}+z_{2}^{2}=(z_{1}+z_{2})^{2}-2z_{1}z_{2} προκύπτει
(z_{1}+z_{2})^{2}-2z_{1}z_{2}-(z_{1}+z_{2})^{2}=-36+8i
οπότε έχουμε και το γινόμενο των ριζών z_{1}z_{2}=18-4i (σχέση 4)

Από την ταυτότητα (z_{1}-z_{2})^{2}=(z_{1}+z_{2})^{2}-4z_{1}z_{2} και τη χρήση των σχέσεων 3,4
παίρνουμε ότι (z_{1}-z_{2})^{2}=-60+32i .

Παίρνοντας μέτρα προκύπτει ότι \left| z_{1}-z_{2}\right|^{2}=\sqrt{4624}=68


Έχω την εντύπωση ότι θα ήταν καλύτερα να το έλυνα με x+yi , αλλά πείσμωσα και είπα να μην τα υπολογίσω αφού δεν τα ζήταγε......

Φιλικά!!!!!

Υ.Γ. Ε΄λπίζω να μην έκανα λάθος στην πληκτρολόγηση.....


Υπάρχουν γέφυρες στη ζωή που περνάς και γέφυρες που καις....
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2825
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Τετράγωνο 3

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Τρί Οκτ 20, 2009 11:15 pm

Μια ακόμα σχολική προσέγγιση.
Η αρχική εξίσωση μετασχηματίζεται ισοδύναμα στην z^{2}-2(2+i)z+(2+i)^{2}=-18+4i+(2+i)^{2} <=> [z - (2+i)]^{2} = 8i - 15.
Βρίσκουμε τις τετραγωνικές ρίζες του 8i - 15, οι οποίες είναι οι 1 + 4i, -1 - 4i.
Οπότε η εξίσωση γίνεται: [z - (2+i)]^{2} = (1 + 4i)^{2} <=> z - (2+i) = (1 + 4i) ή z - (2+i) = - (1 + 4i) <=> z = 3 + 5i ή z = 1 -3i, δηλαδή, z_{1}= 1 - 3i, z_{2} = 3 + 5i.
Συνεπώς: \left|z_{1}-z_{2} \right|=\sqrt{68}.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Τετράγωνο 3

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Τρί Οκτ 20, 2009 11:19 pm

Ευχαριστώ για τις λύσεις σας. Βασίλη μου άρεσε η ΄λύση σου. Βέβαια η λύση του lepro είναι σταθερός τρόπος που απαιτεί προσοχή και ευχέρεια στις πράξεις.
Ο τρόπος που έχω υποψη μου είναι η μέθοδος συμπλήρωσης τετραγώνου και έπειτα διαφορά τετραγώνων (εδώ βρίσκω έμμεσα τετραγωνική ρίζα). Αυτο που έψαχνα ήταν μία λύση σαν του Βασίλη (χωρίς ευρεση ρζών)

ΥΓ: Βλέπω ότι ο lepro έγραψε τον τρόπο μου ενώ πληκτρολογούσα :mrgreen:


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Τετράγωνο 3

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Τρί Οκτ 20, 2009 11:51 pm

Ας προσθέσω ένα υποερώτημα

Αν η εξίσωση
\displaystyle \ 4{z^3} - \left( {23 + 8i} \right){z^2} + \left( {100 - 2i} \right)z - 126 + 28i = 0
έχει ως ρίζα τον πραγματικό αριθμό {z_3} , τότε να την λύσετε. Να δείξετε ότι ο {z_3} ισαπέχει από τις άλλες δύο κορυφές του τετραγώνου


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης