Εξισώσεις στους μιγαδικούς

Γιώργος Απόκης · #1

Nα λυθούν στο $\mathbb C$ οι εξισώσεις:

α. z^2+16=0

.

β. $\displaystyle{\left(\frac{z-1}{z-i}\right)^2+4=0}$ .

γ. $\displaystyle{\left(\frac{z-3i}{2+i}\right)^2+\left(\frac{z+3i}{2-i}\right)^2=0}$ .

Atemlos · #2

Για το α)

$\displaystyle{\begin{array}{l} {z^2} + 16 = 0 \Rightarrow {z^2} - {(4i)^2} = 0\\ \Rightarrow {z_{1,2}} = \pm 4i \end{array}}$

Zarifis · #3

α)
Από Vietta έχουμε $Re(z_1) +Re(z_2)=0 \Rightarrow Re(z_1) =-Re(z_2)(1)$ όμως $\bar{z_1}=z_2 \Rightarrow Re(z_1) =Re(z_2) \Rightarrow_(1) Re(z_1)=0$
και $z_1 *z_2 =16 \Rightarrow Im(z_1)i *Im(z_2)i=16$ όμως Im(z_1)=-Im(z_2)

άρα $(Im(z_1))^2=16 \Rightarrow Im(z_1)= \pm 4$
Άρα z_1= 4i ,z_2=-4i

b) Έστω $w=(\frac{z-1}{z-i}$ άρα γίνεται w^2 +4=0

όμοιος βγένει $w= \pm 2i$
άρα $\frac{z-1}{z-i}= 2i \Rightarrow z-1=2iz +2 \Rightarrow z=\frac{3}{1-2i}= \frac{3+6i}{5}$ και
$\frac{z-1}{z-i}= -2i \Rightarrow z-1=-2iz -2 \Rightarrow z=\frac{-1}{1+2i}= \frac{-1+2i}{5}$
c) λίγο περίεργα: $(\left\frac{z-3i}{2+i}\right)^2=-\left(\frac{z+3i}{2-i}\right)^2 \Rightarrow |\left\frac{z-3i}{2+i}\right|^2=\left|\frac{z+3i}{2-i}\right|^2 \Rightarrow |\left z-3i\right|^2=\left|z+3i\right|^2$
$\Rightarrow z=\bar{z} \Rightarrow z\in R$ Έστω z=a

$(\left\frac{z-3i}{2+i}\right)^2 +\left(\frac{z+3i}{2-i}\right)^2 =0$ Ισχύει $w^2 +\bar{w}^2=0 \Rightarrow Re(w)^2=Im(w)^2$
άρα $\frac{a-3i}{2+i} =x+yi \Rightarrow \frac{(a-3i)(2-i)}{5} =x+yi \Rightarrow \frac{2a-3}{5}=x$ kai $\frac{-a-6}{5}=y$
Άρα $2a-3=-a-6 \Rightarrow a=-1$ και $2a-3=a+6 \Rightarrow a=9$
Όποτε οι μιγαδικοί είναι z_1=-1,z_2=9

Γιώργος Απόκης · #4

Ευχαριστώ και τους δύο για τις λύσεις. Η βασική ιδέα και στις τρεις είναι η χρήση της ισοδυναμίας : $a^2+b^2=0\Leftrightarrow a=\pm bi,~a,b \in \mathbb C$

Μάκης Χατζόπουλος · #5

Γιώργο να προσθέσω και άλλη μία που λύνεται πολλές φορές λάθος;

Να λύσετε στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών την εξίσωση, z^3 = 1

(Σημείωση: Μπορεί και να την θεωρήσουμε εκτός ύλης... αλλά αυτή είναι άλλη κουβέντα)

Ch.Chortis · #6

Με προλαβαν.
Θα διέγραφα τη δημοσίευση.

#7

Ch.Chortis έγραψε:
Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Γιώργο να προσθέσω και άλλη μία που λύνεται πολλές φορές λάθος;

Να λύσετε στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών την εξίσωση,

Λύνεται μόνο στους πραγματικούς(νομίζω).
Κάθε μιγαδικός γράφεται στη μορφή: όπου $i=\sqrt {-1}$ και $a,b \in \mathbb {R}$
Όταν παίρνουμε πραγματικές λύσεις.
Όταν τότε έχουμε φανταστικές λύσεις.
Όταν τότε
Έστω $z\in \mathbb {R}$ τότε έχουμε $b=0,~a^3=1 \Rightarrow a=1 \Rightarrow z=1$
Έστω $z \in \mathbb {I}$ τότε έχουμε $a=0,~(bi)^3=1 \Leftrightarrow -b^3i=1 \Leftrightarrow i=-\dfrac {1} {b^3}$
άτοπο αφού όταν διαιρείται ένας πραγματικός με εναν άλλο πραγματικό,δίνει μόνο πpαγματικό.
Άρα μόνη λύση η

Αγαπητέ φίλε, η παραπάνω "λύση" είναι τελείως λάθος. Σε παρακαλώ να ξαναδιαβάσεις ό,τι σου έγραψα εδώ.

Η συντομότερη λύση είναι εκτός σχολικής ύλης.
Μια άλλη λύση, κατάλληλη για τα σχολικά δεδομένα, είναι η εξής:

$\displaystyle{z^3=1\Leftrightarrow z^3-1=0 \Leftrightarrow (z-1)(z^2+z+1)=0 \Leftrightarrow z-1=0 \vee z^2+z+1=0 \Leftrightarrow z=1 \vee z=\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}.}$

Υ.Γ. Μάκη, τι εννοείς;

Μάκης Χατζόπουλος · #8

Θάνο αυτή την λύση δίνω και εγώ, αλλά όταν ο μαθητής δώσει την απάντηση z=1

από που πρέπει να γνωρίζει ότι η εξίσωση έχει άλλες δύο συζυγείς μιγαδικές λύσεις; Το ανάλογο θεώρημα είναι εκτός ύλης.

Εξισώσεις στους μιγαδικούς

Εξισώσεις στους μιγαδικούς

Re: Εξισώσεις στους μιγαδικούς

Re: Εξισώσεις στους μιγαδικούς

Re: Εξισώσεις στους μιγαδικούς

Re: Εξισώσεις στους μιγαδικούς

Re: Εξισώσεις στους μιγαδικούς

Re: Εξισώσεις στους μιγαδικούς

Re: Εξισώσεις στους μιγαδικούς

Μέλη σε σύνδεση