Μέτρα και ίσοι μιγαδικοί !

Συντονιστής: Πρωτοπαπάς Λευτέρης

Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5436
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Μέτρα και ίσοι μιγαδικοί !

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Τρί Μάιος 01, 2012 7:58 am

Καλό μήνα !

Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς z_1,z_2 ισχύει ότι :

|2z_1-z_2-z_3|=|z_2-z_3| και |2z_2-z_1-z_3|=|z_1-z_3|,

να αποδειχθεί ότι : z_1=z_2 .

Μπάμπης


Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6260
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Μέτρα και ίσοι μιγαδικοί !

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τρί Μάιος 01, 2012 10:01 am

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Καλό μήνα !

Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς z_1,z_2 ισχύει ότι :

|2z_1-z_2-z_3|=|z_2-z_3| και |2z_2-z_1-z_3|=|z_1-z_3|,

να αποδειχθεί ότι : z_1=z_2 .

Μπάμπης
Μπάμπη, καλό μήνα!

Θέτουμε

\displaystyle{a=z_1-z_2,b=z_1-z_3,} οπότε το πρόβλημα μετασχηματίζεται στο εξής:

Αν \displaystyle{|a+b|=|a-b|} και \displaystyle{|b-2a|=|b|} να αποδειχθεί ότι \displaystyle{a=0.}

Έστω \displaystyle{a\ne 0.}

Οι παραπάνω σχέσεις γράφονται \displaystyle{|w+1|=|w-1|,~ |w-2|=|w|,} όπου \displaystyle{w=\frac{b}{a}.}

Η πρώτη, εκφράζει ότι η εικόνα του \displaystyle{w} στο μιγαδικό επίπεδο κινείται στον άξονα \displaystyle{y'y,} ενώ η δεύτερη, ότι κινείται στην ευθεία \displaystyle{x=1.}

Αυτές οι ευθείες είναι παράλληλες,, και ιδού το άτοπο.


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
Χρήστος Λαζαρίδης
Δημοσιεύσεις: 656
Εγγραφή: Παρ Ιαν 09, 2009 10:48 am
Τοποθεσία: Παλαιό Φάληρο
Επικοινωνία:

Re: Μέτρα και ίσοι μιγαδικοί !

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Χρήστος Λαζαρίδης » Τρί Μάιος 01, 2012 11:24 am

matha έγραψε:
Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Καλό μήνα !

Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς z_1,z_2 ισχύει ότι :

|2z_1-z_2-z_3|=|z_2-z_3| και |2z_2-z_1-z_3|=|z_1-z_3|,

να αποδειχθεί ότι : z_1=z_2 .

Μπάμπης
Μπάμπη, καλό μήνα!

Θέτουμε

\displaystyle{a=z_1-z_2,b=z_1-z_3,} οπότε το πρόβλημα μετασχηματίζεται στο εξής:

Αν \displaystyle{|a+b|=|a-b|} και \displaystyle{|b-2a|=|b|} να αποδειχθεί ότι \displaystyle{a=0.}

Έστω \displaystyle{a\ne 0.}

Οι παραπάνω σχέσεις γράφονται \displaystyle{|w+1|=|w-1|,~ |w-2|=|w|,} όπου \displaystyle{w=\frac{b}{a}.}

Η πρώτη, εκφράζει ότι η εικόνα του \displaystyle{w} στο μιγαδικό επίπεδο κινείται στον άξονα \displaystyle{y'y,} ενώ η δεύτερη, ότι κινείται στην ευθεία \displaystyle{x=1.}

Αυτές οι ευθείες είναι παράλληλες,, και ιδού το άτοπο.

Καλό μήνα.

Με επιφύλαξη μία διαφορετική προσπάθεια, με λιγότερη φαντασία από το Θάνο.

Οι υποθέσεις γίνονται:

\displaystyle{\left|z_{3}-(2z_{1}-z_{2}) \right|=\left|z_{3}-z_{2} \right|}

\displaystyle{\left|z_{3}-(2z_{2}-z_{1}) \right|=\left|z_{3}-z_{1} \right|}

Από την πρώτη σχέση συμπεραίνουμε ότι ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του \displaystyle{z_{3}} είναι η μεσοκάθετος του τμήματος AB με άκρα τις εικόνες των \displaystyle{2z_{1}-z_{2},z_{2}}

Το τμήμα ΑΒ έχει μέσο την εικόνα του \displaystyle{z_{1}}

Από την δεύτερη σχέση συμπεραίνουμε ότι ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του \displaystyle{z_{3}} είναι η μεσοκάθετος του τμήματος ΓΔ με άκρα τις εικόνες των \displaystyle{2z_{2}-z_{1},z_{1}}

Το τμήμα ΓΔ έχει μέσο την εικόνα του \displaystyle{z_{2}}

Άρα, τα τμήματα ΑΒ,ΓΔ έχουν κοινό μέσο, επομένως οι εικόνες των \displaystyle{z_{1}} και \displaystyle{z_{2}} συμπίπτουν, επομένως: \displaystyle{z_{1}} = \displaystyle{z_{2}}

Έγιναν διορθώσεις μετά την παρέμβαση της Φωτεινής.



Φιλικά Χρήστος
τελευταία επεξεργασία από Χρήστος Λαζαρίδης σε Κυρ Μάιος 06, 2012 1:51 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Ο ηλίθιος είναι αήττητος
tolis riza
Δημοσιεύσεις: 65
Εγγραφή: Παρ Ιουν 17, 2011 9:38 pm

Re: Μέτρα και ίσοι μιγαδικοί !

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από tolis riza » Τετ Μάιος 02, 2012 6:53 pm

Θέτουμε:
w_1  = z_1  - z_2 \mathop {}\limits^{}, w_2  = z_2  - z_3 \mathop {}\limits^{} ,w_3  = z_3  - z_1 \mathop {}\limits^{}
και έχουμε:

w_1  + w_2  + w_3  = 0,  \mathop {}\limits^{} |w_1  - w_3 | = |w_2 |\mathop {}\limits^{} και |w_1  - w_2 | = |w_3 |.

Άρα η αρχή των αξόνων και οι εικόνες των \mathop {}\limits^{} w_1 ,w_2 ,w_3 , είναι κορυφές παραλληλογράμμου,
με διαγώνιο την εικόνα του w_1.

Άρα
\mathop {}\limits^{} w_2  + w_3  = w_1 και w_1  + w_2  + w_3  = 0 , οπότε \mathop {}\limits^{} w_1  = 0
τελευταία επεξεργασία από tolis riza σε Τετ Μάιος 02, 2012 8:47 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Νικος Αντωνόπουλος
Δημοσιεύσεις: 74
Εγγραφή: Παρ Οκτ 08, 2010 8:38 pm
Τοποθεσία: Ιλιον

Re: Μέτρα και ίσοι μιγαδικοί !

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Νικος Αντωνόπουλος » Τετ Μάιος 02, 2012 8:40 pm

Αν θεωρήσουμε ότι A({{z}_{1}}),B({{z}_{2}}),C({{z}_{3}}) είναι οι εικόνες των μιγαδικών και τα δυο πρώτα σημεία δεν ταυτίζονται, τότε, από τις σχέσεις που δόθηκαν, προκύπτει ότι το A({{z}_{1}}) είναι σημείο του κύκλου με διάμετρο BC και το B({{z}_{2}}) είναι σημείο του κύκλου με διάμετρο AC οπότε το τρίγωνο ABC έχει δυο ορθές γωνίες, άτοπο.


nikan-dos
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: Μέτρα και ίσοι μιγαδικοί !

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Τετ Ιούλ 11, 2012 3:21 pm

Νικος Αντωνόπουλος έγραψε:Αν θεωρήσουμε ότι A({{z}_{1}}),B({{z}_{2}}),C({{z}_{3}}) είναι οι εικόνες των μιγαδικών και τα δυο πρώτα σημεία δεν ταυτίζονται, τότε, από τις σχέσεις που δόθηκαν, προκύπτει ότι το A({{z}_{1}}) είναι σημείο του κύκλου με διάμετρο BC και το B({{z}_{2}}) είναι σημείο του κύκλου με διάμετρο AC οπότε το τρίγωνο ABC έχει δυο ορθές γωνίες, άτοπο.
Γιατί το σημείο A({{z}_{1}}) είναι σημείο του κύκλου με διάμετρο BC;


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4247
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Μέτρα και ίσοι μιγαδικοί !

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Τετ Ιούλ 11, 2012 5:15 pm

Aς δούμε και χωρίς γεωμετρία το θέμα:

Ας υποθέσουμε ότι είναι z_2 =0. Τότε οι εξισώσεις που δίνονται από την υπόθεση, γράφονται:

|2z_1 -z_3|=|z_3| , |z_1 +z_3|=|z_1 -z_3|

Η δεύτερη από αυτές , με ύψωση στο τετράγωνο, δίνει αμέσως ότι \displaystyle{z_{1}.\bar{z_3}+z_{3}.\bar{z_1}=0}
Τώρα η πρώτη από αυτές που έχουμε παραπάνω, με ύψωση στο τετράγωνο δίνει:

\displaystyle{4z_{1}\bar{z_1}-2(z_{1}\bar{z_3}+z_{3}\bar{z_1})=0}, οπότε: \displaystyle{4|z_1|^2 =0}, και άρα \displaystyle{z_1 =0}, δηλαδή

\displaystyle{z_1 =z_2}.

Aς υποθέσουμε τώρα ότι \displaystyle{z_2\neq 0}

Διαιρώντας τα μέλη των δύο ισοτήτων που δίνονται από την εκφώνηση με \displaystyle{|z_2|}, παίρνουμε:

\displaystyle{|2\frac{z_1}{z_2}-1-\frac{z_3}{z_2}|=|1-\frac{z_3}{z_2}|}

\displaystyle{|2-\frac{z_1}{z_2}-\frac{z_3}{z_2}|=|\frac{z_1}{z_2}-\frac{z_3}{z_2}|}

Θέτουμε: \displaystyle{w=\frac{z_1}{z_2} , u=\frac{z_3}{z_2}}

Τότε οι δύο παραπάνω σχέσεις γράφονται:

\displaystyle{|2w-1-u|=|1-u|}

\displaystyle{|2-w-u|=|w-u|}

Άρα:

\displaystyle{|w-1+w-u|=|1-u|}

\displaystyle{|1-w+1-u|=|w-u|}

Kai θέτοντας \displaystyle{w-1=k , w-u=n , 1-u=m}, έχουμε:

\displaystyle{|k+n|=|m|} , \rightarrow :ΣΧΕΣΗ 1

\displaystyle{|k-m|=|n|}, \rightarrow :ΣΧΕΣΗ 2.

Στο μεταξύ, έχουμε:

\displaystyle{w=1+k , u=1-m}, οπότε από την \displaystyle{w-u=n}, έπεται ότι : \displaystyle{1+k-1+m=n}, δηλαδή: \displaystyle{k+n=m}.

Τώρα οι σχέσεις 1 και 2 γράφονται:

\displaystyle{|m|=|n|}

\displaystyle{|n-2m|=|n|}

Aπό \displaystyle{|n-2m|=|n|}, με ύψωση στο τετράγωνο, έχουμε: \displaystyle{n\bar{m}+m\bar{n}=2m\bar{m}\Rightarrow}

\displaystyle{\Rightarrow n^{2}\bar{m}+mn\bar{n}=2nm\bar{m}}

Aπό \displaystyle{|m|=|n|}, έπεται ότι \displaystyle{m\bar{m}=n\bar{n}}. Oπότε η προηγούμενη σχέση γράφεται:

\displaystyle{n^{2}\bar{m}+m.m\bar{m}=2nm\bar{m}}, \rightarrow : ΣΧΕΣΗ 3

Aν είναι \displaystyle{\bar{m}=0}, τ'οτε \displaystyle{m=n=0}, οπότε \displaystyle{w=1}, δηλαδή \displaystyle{z_1 =z_2}

Αν πάλι είναι \displaystyle{\bar{m}\neq 0}, τότε η σχέση 3 γράφεται: \displaystyle{n^2 +m^2 -2nm=0}, από την οποία προκύπτει ότι:

\displaystyle{n=m}. Άρα : \displaystyle{w-u=1-u}, δηλαδή \displaystyle{w=1}, και άρα και πάλι \displaystyle{z_1 =z_2}


Νικος Αντωνόπουλος
Δημοσιεύσεις: 74
Εγγραφή: Παρ Οκτ 08, 2010 8:38 pm
Τοποθεσία: Ιλιον

Re: Μέτρα και ίσοι μιγαδικοί !

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Νικος Αντωνόπουλος » Πέμ Ιούλ 12, 2012 11:18 am

Parmenides, δεν προκύπτει από την πρώτη σχέση ότι τοA βλέπει το τμήμα BC με ορθή γωνία; (Αν M το μέσο της BC η διάμεσος AM είναι το μισό της BC). ‘Η κάτι δεν βλέπω;


nikan-dos
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: Μέτρα και ίσοι μιγαδικοί !

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Πέμ Ιούλ 12, 2012 4:26 pm

Νικος Αντωνόπουλος έγραψε:Parmenides, δεν προκύπτει από την πρώτη σχέση ότι τοA βλέπει το τμήμα BC με ορθή γωνία; (Αν M το μέσο της BC η διάμεσος AM είναι το μισό της BC). ‘Η κάτι δεν βλέπω;
Έχεις δίκιο :oops: , νόμιζα ότι θα φαινόταν με το μάτι αλλά έπρεπε να αντικαταστήσω με διανύσματα για να φανεί.
Ωραία λύση παρεμπιπτόντως :)


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες