Aνισότητα με διαμέσους τριγώνου.
Συντονιστές: vittasko, achilleas, emouroukos
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6422
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Aνισότητα με διαμέσους τριγώνου.
Έστω τρίγωνο με διαμέσους και η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου. Αποδείξτε ότι
Μάγκος Θάνος
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6422
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Aνισότητα με διαμέσους τριγώνου.
Είναι καιρό αναπάντητη.
Το πρόβλημα αυτό είναι το L160 από το ρουμάνικο περιοδικό RECREAŢII MATEMATICE. Στο προτελευταίο τεύχος του περιοδικού, παρουσιάστηκε μία λύση, η οποία βασίζεται στην παρακάτω ανισότητα που είχε τεθεί σε TST του Vietnam το 2006.
Αν μήκη πλευρών τριγώνου, ισχύει
Απόδειξη αυτής, με χρήση της μεθόδου SOS, μπορεί να δει κανείς στο βιβλίο του Vasile Cirtoaje, Algebraic Inequalities, Old and New Methods, GIL, σελίδα 442.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Παραθέτω μία διαφορετική λύση:
Με χρήση του μετασχηματισμού της διαμέσου, είναι αρκετό να αποδείξουμε ότι
Είναι γνωστό ότι ισχύει οπότε αρκεί να αποδείξουμε ότι
ή, πολλαπλασιάζοντας τα μέλη αυτής με
ότι
. (1)
Μάλιστα, θα αποδείξουμε ότι η (1) ισχύει για τυχόντες
Πράγματι, με εφαρμογή της προφανούς ανισότητας , έχουμε
Αρκεί τώρα, να ισχύει
ή αλλιώς ότι
Αυτή όμως, προκύπτει π.χ.από την ανισότητα της αναδιάταξης ως εξής:
.
Το πρόβλημα αυτό είναι το L160 από το ρουμάνικο περιοδικό RECREAŢII MATEMATICE. Στο προτελευταίο τεύχος του περιοδικού, παρουσιάστηκε μία λύση, η οποία βασίζεται στην παρακάτω ανισότητα που είχε τεθεί σε TST του Vietnam το 2006.
Αν μήκη πλευρών τριγώνου, ισχύει
Απόδειξη αυτής, με χρήση της μεθόδου SOS, μπορεί να δει κανείς στο βιβλίο του Vasile Cirtoaje, Algebraic Inequalities, Old and New Methods, GIL, σελίδα 442.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Παραθέτω μία διαφορετική λύση:
Με χρήση του μετασχηματισμού της διαμέσου, είναι αρκετό να αποδείξουμε ότι
Είναι γνωστό ότι ισχύει οπότε αρκεί να αποδείξουμε ότι
ή, πολλαπλασιάζοντας τα μέλη αυτής με
ότι
. (1)
Μάλιστα, θα αποδείξουμε ότι η (1) ισχύει για τυχόντες
Πράγματι, με εφαρμογή της προφανούς ανισότητας , έχουμε
Αρκεί τώρα, να ισχύει
ή αλλιώς ότι
Αυτή όμως, προκύπτει π.χ.από την ανισότητα της αναδιάταξης ως εξής:
.
Μάγκος Θάνος
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6422
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης