Σημεία στο εσωτερικό πολυγώνου (από το QUANTUM)

Συντονιστές: vittasko, achilleas, emouroukos

dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1360
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Σημεία στο εσωτερικό πολυγώνου (από το QUANTUM)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Δευ Μαρ 28, 2011 2:52 pm

Καλημέρα σε όλους.

Να βρεθεί ο ελάχιστος αριθμός σημείων στο εσωτερικό κυρτού n-γώνου P, έτσι ώστε κάθε τρίγωνο που οι κορυφές του είναι κορυφές του P να έχει τουλάχιστον ένα σημείο στο εσωτερικό του.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Άβαταρ μέλους
Σεραφείμ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1872
Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα

Re: Σημεία στο εσωτερικό πολυγώνου (από το QUANTUM)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σεραφείμ » Τρί Απρ 05, 2011 12:57 am

n-2 σημεία.jpg
n-2 σημεία.jpg (66.47 KiB) Προβλήθηκε 2143 φορές
Έστω το κυρτό n-γωνο \displaystyle{{A_1}{A_2}{A_3}..{A_{n - 2}}{A_{n - 1}}{A_n}} (το τοποθετούμε σε κύκλο για χάρη ευκολίας του σχήματος).
Επειδή τα τρίγωνα \displaystyle{{A_1}{A_2}{A_3}{\text{ }}{\text{,  }}{A_1}{A_3}{A_4}{\text{ }}{\text{,  }}{A_1}{A_4}{A_5}{\text{ }}{\text{,  }}..{\text{ }}{\text{, }}{A_1}{A_{n - 1}}{A_n}} είναι ξένα μεταξύ τους, έπεται ότι το πλήθος N των απαιτούμενων σημείων είναι \displaystyle{N \geqslant n - 2} . Επομένως αν βρούμε κατασκευή, με τα δεδομένα του προβλήματος, που να απαιτούνται ακριβώς n-2 σημεία, τότε αυτή θα είναι και η απάντηση στο πρόβλημα..
Κάνουμε την εξής τοποθέτηση: Για κάθε κορυφή \displaystyle{{A_i}{\text{ }}{\text{,  }}i = 1,2,3,..,n - 2} , κατασκευάζουμε τα τρίγωνα \displaystyle{{A_i}{A_{n - 1}}{A_n}{\text{  \&   }}{A_i}{A_{i - 1}}{A_{i + 1}}} ( \displaystyle{{A_0} \equiv {A_n}} ). Στο κοινό τους τμήμα τοποθετούμε το σημείο \displaystyle{{\Sigma _i}} . Τα n-2 αυτά σημεία είναι τα ζητούμενα διότι :
Α) Έστω \displaystyle{{A_i}{A_j}{A_k}} τυχαίο τρίγωνο. Αν καμία από τις κορυφές δεν είναι τα σημεία \displaystyle{{A_{n - 1}}{\text{ }}{\text{,  }}{A_n}} τότε η πλευρά \displaystyle{{A_{n - 1}}{A_n}} θα είναι εσωτερική σε μια από τις γωνίες του τριγώνου, άρα από την κατασκευή των σημείων \displaystyle{{\Sigma _i}} , το τρίγωνο θα περιέχει κάποιο σημείο \displaystyle{{\Sigma _i}} .
Β) Αν ένα από τα σημεία \displaystyle{{A_{n - 1}}{\text{ }}{\text{,  }}{A_n}} είναι κορυφή του τριγώνου, η περίπτωση είναι παρόμοια με την Α
Γ) Αν τα σημεία \displaystyle{{A_{n - 1}}{\text{ }}{\text{,  }}{A_n}} είναι δύο από τις κορυφές του τριγώνου, τότε από την κατασκευή των σημείων \displaystyle{{\Sigma _i}} , το τρίγωνο (τετριμμένα) θα περιέχει κάποιο σημείο \displaystyle{{\Sigma _i}}

Άρα \displaystyle{N = n - 2} .


Σεραφείμ Τσιπέλης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα για Λύκειο - Seniors”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης