Διαγωνισμός επιλογής Κύπρου (2 Προβλήματα)

Συντονιστές: vittasko, achilleas, emouroukos

Eukleidis
Δημοσιεύσεις: 667
Εγγραφή: Τετ Ιούλ 01, 2009 9:55 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Διαγωνισμός επιλογής Κύπρου (2 Προβλήματα)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Eukleidis » Δευ Φεβ 14, 2011 4:06 pm

1.Βρείτε όλους τους ακέραιους x,y,z,m έτσι ώστε η παράσταση να είναι ρητός αριθμός:

\displaystyle{A = \sqrt {\tfrac{{{4^x} + {4^y} + {4^z}}}{{{m^2} - 2500}}} }

2. Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}} με \displaystyle{f\left( \nu  \right)} να μας δίνει το πλήθος των τριγώνων με μήκη πλευρών ακέραιο αριθμό και περίμετρο ν, για κάθε φυσικό ν με ν>=3(π.χ. \displaystyle{f\left( 3 \right) = 1} δηλαδή το τρίγωνο με πλευρές (1,1,1))
Να αποδείξετε ότι
α) \displaystyle{f\left( {2009} \right) > f\left( {2006} \right)}
β) \displaystyle{f\left( {2010} \right) = f\left( {2007} \right)}


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7789
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Διαγωνισμός επιλογής Κύπρου (2 Προβλήματα)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Φεβ 14, 2011 5:41 pm

Υπόδειξη για το 2ο: Υπάρχει λύση 2-3 γραμμών...


tasosty
Δημοσιεύσεις: 43
Εγγραφή: Παρ Ιούλ 16, 2010 8:39 pm

Re: Διαγωνισμός επιλογής Κύπρου (2 Προβλήματα)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από tasosty » Δευ Φεβ 14, 2011 7:05 pm

2.α) Aν (α,β,γ) τριάδα του f(2006)=>(α+1,β+1,γ+1) τριάδα του f(2009)=>f(2009)>=f(2006)
η ισότητα απορίπτεται από την ύπαρξη της τριάδας (1004,503,502) του f(2009) ενώ η (1003,502,501) δεν είναι τριάδα του f(2006)
b)με τον ίδιο τρόπο f(2010)>=f(2007),αλλά δουλεύοντας ανάποδα για τις τριάδες (α,β,γ) και (α-1,β-1,γ-1) διαπιστώνει κανείς ότι f(2010)<=f(2007)
=> f(2010)=f(2007)


Eukleidis
Δημοσιεύσεις: 667
Εγγραφή: Τετ Ιούλ 01, 2009 9:55 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Διαγωνισμός επιλογής Κύπρου (2 Προβλήματα)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Eukleidis » Κυρ Μαρ 13, 2011 11:10 am

Eπαναφορά..


Γιώργος
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5767
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Διαγωνισμός επιλογής Κύπρου (2 Προβλήματα)

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Κυρ Αύγ 21, 2011 6:56 pm

Eukleidis έγραψε: 2. Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}} με \displaystyle{f\left( \nu  \right)} να μας δίνει το πλήθος των τριγώνων με μήκη πλευρών ακέραιο αριθμό και περίμετρο ν, για κάθε φυσικό ν με ν>=3(π.χ. \displaystyle{f\left( 3 \right) = 1} δηλαδή το τρίγωνο με πλευρές (1,1,1))
Να αποδείξετε ότι
α) \displaystyle{f\left( {2009} \right) > f\left( {2006} \right)}
β) \displaystyle{f\left( {2010} \right) = f\left( {2007} \right)}
Έχει τεθεί και σε ολυμπιάδα της Ινδίας.
Δείτε:
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 41&t=55427&
http://olympiads.hbcse.tifr.res.in/uplo ... o-sol-2000


Θανάσης Κοντογεώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα για Λύκειο - Seniors”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης