Από το Βιετνάμ!

Συντονιστές: vittasko, achilleas, emouroukos

Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6076
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Από το Βιετνάμ!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Πέμ Δεκ 30, 2010 3:25 pm

Έστω τρίγωνο \displaystyle{ABC}, στο οποίο το βαρύκεντρο \displaystyle{G} βρίσκεται στο εσωτερικό του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου.
Αποδείξτε ότι

\displaystyle{\max \{a^2,b^2,c^2\}<4 \min \{ab,bc,ca\}}.


Μάγκος Θάνος
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5767
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Από το Βιετνάμ!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Παρ Δεκ 25, 2015 8:11 pm

Επαναφορά!


Θανάσης Κοντογεώργης
Παύλος Μαραγκουδάκης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1437
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Από το Βιετνάμ!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης » Κυρ Δεκ 27, 2015 11:34 pm

Χωρίς βλάβη ας είναι a\geq b\geq c. Αρκεί να δείξουμε ότι a^2<4bc.

Από τον τύπο του Leibniz IA^2+IB^2+IC^2=3IG^2+\dfrac{1}{3}\left (a^2+b^2+c^2\right ).

Από τις γνωστές σχέσεις

IA^2=(s-a)^2+r^2

IB^2=(s-b)^2+r^2

IC^2=(s-c)^2+r^2

και την υπόθεση IG<r

προκύπτει ότι

(s-a)^2+(s-b)^2+(s-c)^2<\dfrac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)

(s-a)^2+(s-b-s+c)^2+2(s-b)(s-c)<\dfrac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)

(s-a)^2+(b-c)^2+\dfrac{1}{2}[a^2-(b-c)^2]<\dfrac{1}{3}a^2+\dfrac{1}{3}(b-c)^2+\dfrac{2}{3}bc

(s-a)^2+\dfrac{1}{6}(b-c)^2<\dfrac{4bc-a^2}{6}

και από εδώ προκύπτει το ζητούμενο.


Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα για Λύκειο - Seniors”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης