Ανισότητα με δύο τρίγωνα!
Συντονιστές: vittasko, achilleas, emouroukos
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Ανισότητα με δύο τρίγωνα!
Έστωσαν τα τρίγωνα και με πλευρές και αντίστοιχα. Αν είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του και η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του να αποδειχθεί ότι
Μάγκος Θάνος
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Ανισότητα με δύο τρίγωνα!
Επειδή πάει πάλι να ξεχαστεί, βάζω μια λύση:matha έγραψε:Έστωσαν τα τρίγωνα και με πλευρές και αντίστοιχα. Αν είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του και η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του να αποδειχθεί ότι
Από την ανισότητα Cauchy-Schwarz ισχύει
(1)
Γνωρίζουμε, όμως, ότι ισχύει (2) (π.χ. είναι )
Επίσης ισχύει
(3)
Πράγματι, επειδή είναι, ως γνωστόν, έχουμε
, άρα
Επομένως, είναι
Από τις (1),(2),(3) προκύπτει η ζητούμενη.
Μάγκος Θάνος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 7 επισκέπτες