Ανισότητα με δύο τρίγωνα!

Συντονιστές: vittasko, achilleas, emouroukos

Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6075
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Ανισότητα με δύο τρίγωνα!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τρί Νοέμ 30, 2010 2:26 am

Έστωσαν τα τρίγωνα \displaystyle{ABC} και \displaystyle{A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}} με πλευρές \displaystyle{a,b,c} και \displaystyle{a^{\prime},b^{\prime},c^{\prime}} αντίστοιχα. Αν \displaystyle{R} είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του \displaystyle{ABC} και \displaystyle{r^{\prime}} η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του \displaystyle{A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime},} να αποδειχθεί ότι

\displaystyle{\frac{R}{r^{\prime}}\geq \frac{2}{3}\Big(\frac{a}{a^{\prime}}+\frac{b}{b^{\prime}}+\frac{c}{c^{\prime}}\Big).}


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6075
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Ανισότητα με δύο τρίγωνα!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Παρ Μάιος 06, 2011 10:02 pm

Επαναφορά με υπόδειξη
να χρησιμοποιηθεί η ανισότητα Cauchy-Schwarz.


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6075
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Ανισότητα με δύο τρίγωνα!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Δευ Μάιος 09, 2011 11:37 am

matha έγραψε:Έστωσαν τα τρίγωνα \displaystyle{ABC} και \displaystyle{A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}} με πλευρές \displaystyle{a,b,c} και \displaystyle{a^{\prime},b^{\prime},c^{\prime}} αντίστοιχα. Αν \displaystyle{R} είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του \displaystyle{ABC} και \displaystyle{r^{\prime}} η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του \displaystyle{A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime},} να αποδειχθεί ότι

\displaystyle{\frac{R}{r^{\prime}}\geq \frac{2}{3}\Big(\frac{a}{a^{\prime}}+\frac{b}{b^{\prime}}+\frac{c}{c^{\prime}}\Big).}
Επειδή πάει πάλι να ξεχαστεί, βάζω μια λύση:

Από την ανισότητα Cauchy-Schwarz ισχύει

\displaystyle{\frac{a}{a^{\prime}}+\frac{b}{b^{\prime}}+\frac{c}{c^{\prime}}\leq \sqrt{a^2+b^2+c^2}\sqrt{\frac{1}{a^{\prime}^2}+\frac{1}{b^{\prime}^2}+\frac{1}{c^{\prime}^2}}.} (1)

Γνωρίζουμε, όμως, ότι ισχύει \displaystyle{a^2+b^2+c^2\leq 9R^2} (2) (π.χ. είναι \displaystyle{0\leq OG^2=R^2-\frac{a^2+b^2+c^2}{9}})

Επίσης ισχύει

\displaystyle{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\leq \frac{1}{4r^2}} (3)

Πράγματι, επειδή είναι, ως γνωστόν, \displaystyle{h_a^2\leq s(s-a)} έχουμε

\displaystyle{(b+c)^2-a^2=4s(s-a)\geq 4h_a^2=\frac{16E^2}{a^2}}, άρα \displaystyle{\frac{1}{a^2}\leq \frac{(b+c)^2-a^2}{16E^2}.}

Επομένως, είναι

\displaystyle{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\leq \frac{(b+c)^2-a^2+(c+a)^2-b^2+(a+b)^2-c^2}{16E^2}=\frac{(a+b+c)^2}{16s^2r^2}=\frac{1}{4r^2}.}

Από τις (1),(2),(3) προκύπτει η ζητούμενη.


Μάγκος Θάνος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα για Λύκειο - Seniors”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης