Ανισότητα με πλευρές τριγώνου!
Συντονιστές: vittasko, achilleas, emouroukos
Re: Ανισότητα με πλευρές τριγώνου!
οποτε η δοσμενη γινεται...
Ομως
Ομοια
Τοτε =
Αρα αρκει
Ομως Ομοια
Αρα με προσθεση των παραπανω σχεσεων προκειπτουμε στην ζητουμενη...
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6422
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Ανισότητα με πλευρές τριγώνου!
Το θέμα είναι από IMO TST της Ρουμανίας.
Μετά την ωραία απάντηση του Τάσου (;), ας δώσω ακόμα μία αντιμετώπιση.
Θα αποδείξουμε ότι σε κάθε τρίγωνο , ισχύει
Πράγματι, αυτή γράφεται με χρήση του νόμου των συνημιτόνων ως
και χρησιμοποιώντας τώρα τον νόμο των ημιτόνων
Όμως, έχουμε
οπότε έχουμε να αποδείξουμε ότι
η οποία γράφεται τελικά , αφού
Μετά την ωραία απάντηση του Τάσου (;), ας δώσω ακόμα μία αντιμετώπιση.
Θα αποδείξουμε ότι σε κάθε τρίγωνο , ισχύει
Πράγματι, αυτή γράφεται με χρήση του νόμου των συνημιτόνων ως
και χρησιμοποιώντας τώρα τον νόμο των ημιτόνων
Όμως, έχουμε
οπότε έχουμε να αποδείξουμε ότι
η οποία γράφεται τελικά , αφού
Μάγκος Θάνος
Re: Ανισότητα με πλευρές τριγώνου!
Σωστα Τασος, ωραια λυση!, ποιας χρονιας ειναι η ασκηση?, επειδη κατι μου θυμιζει αλλα μαλλον απο καποια παρομοια θα 'ναι...
- G.Bas
- Δημοσιεύσεις: 705
- Εγγραφή: Τετ Οκτ 13, 2010 9:27 pm
- Τοποθεσία: Karditsa - Ioannina
- Επικοινωνία:
Re: Ανισότητα με πλευρές τριγώνου!
Η Ανισότητα είναι ισοδύναμη με τηνmatha έγραψε:Αν είναι πλευρές τριγώνου, να αποδειχθεί ότι
ή ισοδύναμα
Αλλά, από την Ανισότητα AM-GM έχουμε για το αριστερό μέλος
Μένει λοιπόν να δείξουμε ότι
Από την Ανισότητα Schur τελικά έχουμε
και μένει να δείξουμε ότι
η οποία ισχύει αφού παίρνει τη μορφή
Let Solutions Say Your Method!
George Basdekis
Cauchy-Schwarz is the best tool!
George Basdekis
Cauchy-Schwarz is the best tool!
Re: Ανισότητα με πλευρές τριγώνου!
Επίσης από εδώ και κάτω είναι :G.Bas έγραψε:Η Ανισότητα είναι ισοδύναμη με τηνmatha έγραψε:Αν είναι πλευρές τριγώνου, να αποδειχθεί ότι
ή ισοδύναμα
που είναι Schur.
Στραγάλης Χρήστος
Re: Ανισότητα με πλευρές τριγώνου!
Το πρόβλημα αυτό είναι ισοδύναμο και με το πρόβλημα που τέθηκε στην Βαλκανιάδα του 2012.
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8#p2672163
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8#p2672163
Σιλουανός Μπραζιτίκος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες