Ανισότητα σε τρίγωνο, του Ji Chen.
Συντονιστές: vittasko, achilleas, emouroukos
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Ανισότητα σε τρίγωνο, του Ji Chen.
Aς είναι τρίγωνο με διαμέσους και ακτίνες παρεγγεγραμμένων κύκλων
Αποδείξτε ότι
Αποδείξτε ότι
Μάγκος Θάνος
-
- Δημοσιεύσεις: 1055
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 11, 2010 2:12 pm
Re: Ανισότητα σε τρίγωνο, του Ji Chen.
Θα προσπαθήσω να δώσω μια λύση, ελπίζω σωστή μιας και έμεινε καιρό αναπάντητη. Xρησιμοποιώντας κυκλικά τους τύπους η ανισότητα μευασχήματίζεται εύκολα στην :
.
Aπό ΑΜ-GM ,.
Ακόμη . Άρα .
Θέτοντας αρκεί , η οποία είναι ισοδύναμη με την .
Λόγω ομοιογένειας υποθέτω . Αν οι παρανομαστές του β μέλους είναι όλοι θετικοί , επομένως .
Υποθέτουμε λόγω συμμετριας της ανιότητας και , οπότε αρκεί να εξεταστεί η περίπτωση που ισχύει . Είναι όμως .
Άρα .
Η ισότητα στην αρχική ισχύει όταν .
.
Aπό ΑΜ-GM ,.
Ακόμη . Άρα .
Θέτοντας αρκεί , η οποία είναι ισοδύναμη με την .
Λόγω ομοιογένειας υποθέτω . Αν οι παρανομαστές του β μέλους είναι όλοι θετικοί , επομένως .
Υποθέτουμε λόγω συμμετριας της ανιότητας και , οπότε αρκεί να εξεταστεί η περίπτωση που ισχύει . Είναι όμως .
Άρα .
Η ισότητα στην αρχική ισχύει όταν .
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Ανισότητα σε τρίγωνο, του Ji Chen.
Δείτε και εδώ: viewtopic.php?f=50&t=12746
Θανάσης Κοντογεώργης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 10 επισκέπτες