''πονηράδας''....συνέχεια.
Συντονιστές: m.pαpαgrigorakis, Καρδαμίτσης Σπύρος, Πρωτοπαπάς Λευτέρης, R BORIS, KAKABASBASILEIOS, Μπάμπης Στεργίου
- chris_gatos
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6962
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
- Τοποθεσία: Ανθούπολη
''πονηράδας''....συνέχεια.
Ευχαριστώ πολύ για τις λύσεις των συναδέλφων στην προηγούμενη άσκηση...
Συνεχίζω με την εξής άσκηση...
Εστω συνάρτηση για την οποία ισχύει:
,για κάθε στο .
Να αποδείξετε οτι για κάθε στο .
Υ.Γ: Επεξεργασία σε latex 22/01/2016
Συνεχίζω με την εξής άσκηση...
Εστω συνάρτηση για την οποία ισχύει:
,για κάθε στο .
Να αποδείξετε οτι για κάθε στο .
Υ.Γ: Επεξεργασία σε latex 22/01/2016
τελευταία επεξεργασία από chris_gatos σε Παρ Ιαν 22, 2016 6:06 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Χρήστος Κυριαζής
- nsmavrogiannis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4455
- Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: ''πονηράδας''....συνέχεια.
Χρήστο είναι καλή η εκφώνηση; Φέρνω στο μυαλό μου την στο .
Μαυρογιάννης
Μαυρογιάννης
Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Ηράκλειτος
- chris_gatos
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6962
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
- Τοποθεσία: Ανθούπολη
Re: ''πονηράδας''....συνέχεια.
Κύριε Μαυρογιάννη είναι ακριβώς έτσι η εκφώνηση.Είναι στον πρώτο απο τους 3 τόμους της ''ανάλυσης'' του Τάκη του Βλάμου,σελ 42.
Χρήστος Κυριαζής
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: ''πονηράδας''....συνέχεια.
Νίκο, η άσκηση ζητά το σύνολο τιμών να είναι στο [α, β], δηλαδή όπως το πεδίο ορισμού.nsmavrogiannis έγραψε:Χρήστο είναι καλή η εκφώνηση; Φέρνω στο μυαλό μου την στο .
Μαυρογιάννης
Οπότε το αντιπαράδειγμά σου δεν κάνει. Και εγώ είχα σκεφτεί ακριβώς το ίδιο
αλλά μετά είδα σωστότερα την εκφώνηση.
Όμως ίσως (λέω, ίσως) η εκφώνηση πρέπει να διορθωθεί σε "f συνεχής".
- nsmavrogiannis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4455
- Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: ''πονηράδας''....συνέχεια.
Ωχ! Ούτε που το είδα.
Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Ηράκλειτος
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: ''πονηράδας''....συνέχεια.
Με την έξτρα υπόθεση ότι η f είναι συνεχής, να μία απόδειξη:
Η υπόθεση δίνει ότι η f είναι 1-1 (απλό). Άρα, ως συνεχής (!) είναι μονότονη. Χωρίς βλάβη, αύξουσα.
Αν υπάρχουν p, q στο [α, β] με | f(p) – f(q) | > |p – q| τότε, χωρίς βλάβη a < p < q < b.
Έτσι έχουμε (τα απόλυτα φεύγουν διότι f αύξουσα)
f(b) – f(q) > = b – q
f(q) – f(p) > q – p
f(p) – f(a) > = p – a
Προσθέτοντας κατά μέλη f(b) – f(α) > b – α (γνήσια ανίσωση). Άτοπο διότι
f(b) – f(α) < = b – a (αφού το σύνολο τιμών περιέχεται στο [a, b] ).
Για f ασυνεχή, ίδωμεν....
Φιλικά,
Μιχάλης Λάμπρου
Η υπόθεση δίνει ότι η f είναι 1-1 (απλό). Άρα, ως συνεχής (!) είναι μονότονη. Χωρίς βλάβη, αύξουσα.
Αν υπάρχουν p, q στο [α, β] με | f(p) – f(q) | > |p – q| τότε, χωρίς βλάβη a < p < q < b.
Έτσι έχουμε (τα απόλυτα φεύγουν διότι f αύξουσα)
f(b) – f(q) > = b – q
f(q) – f(p) > q – p
f(p) – f(a) > = p – a
Προσθέτοντας κατά μέλη f(b) – f(α) > b – α (γνήσια ανίσωση). Άτοπο διότι
f(b) – f(α) < = b – a (αφού το σύνολο τιμών περιέχεται στο [a, b] ).
Για f ασυνεχή, ίδωμεν....
Φιλικά,
Μιχάλης Λάμπρου
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4097
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: ''πονηράδας''....συνέχεια.
Από τα δεδομένα παίρνουμε
Από την άλλη επειδή άρα
και με πρόσθεση των δύο τελευταίων παίρνουμε
έτσι . Λόγω των και παίρνουμε .
Όμως η τελευταία ισότητα δίνει και ειτε και .
Στην πρώτη περίπτωση που και : Θέτουμε στην αρχική σχέση και παίρνουμε άρα δηλαδή , για κάθε .
Από την άλλη θέτοντας παίρνουμε δηλαδή δηλαδή , για κάθε .
Συνεπώς
Στη δεύτερη περίπτωση που και : Θέτουμε στην αρχική κι έτσι παίρνουμε δηλαδή δηλαδή δηλαδή για κάθε .
Από την άλλη, θέτοντας στην αρχική παίρνουμε δηλαδή δηλαδή δηλαδή , για κάθε .
Συνεπώς .
Σε κάθε μία από τις παραπάνω περιπτώσεις ισχύει η ζητούμενη σχέση.
Αλέξανδρος Συγκελάκης
Υ.Γ. Πιστεύω ότι βγαίνει με γρηγορότερο τρόπο καθώς η παραπάνω προσδιορίζει ακριβώς τις συναρτήσεις που επαληθεύουν τη συγκεκριμένη σχέση. Είναι κάτι καλύτερο από αυτό που ζητάει η άσκηση. Φυσικά όλα αυτά, μόνο εάν τα παραπάνω είναι σωστά και δεν έχω χάσει κάπου.
Από την άλλη επειδή άρα
και με πρόσθεση των δύο τελευταίων παίρνουμε
έτσι . Λόγω των και παίρνουμε .
Όμως η τελευταία ισότητα δίνει και ειτε και .
Στην πρώτη περίπτωση που και : Θέτουμε στην αρχική σχέση και παίρνουμε άρα δηλαδή , για κάθε .
Από την άλλη θέτοντας παίρνουμε δηλαδή δηλαδή , για κάθε .
Συνεπώς
Στη δεύτερη περίπτωση που και : Θέτουμε στην αρχική κι έτσι παίρνουμε δηλαδή δηλαδή δηλαδή για κάθε .
Από την άλλη, θέτοντας στην αρχική παίρνουμε δηλαδή δηλαδή δηλαδή , για κάθε .
Συνεπώς .
Σε κάθε μία από τις παραπάνω περιπτώσεις ισχύει η ζητούμενη σχέση.
Αλέξανδρος Συγκελάκης
Υ.Γ. Πιστεύω ότι βγαίνει με γρηγορότερο τρόπο καθώς η παραπάνω προσδιορίζει ακριβώς τις συναρτήσεις που επαληθεύουν τη συγκεκριμένη σχέση. Είναι κάτι καλύτερο από αυτό που ζητάει η άσκηση. Φυσικά όλα αυτά, μόνο εάν τα παραπάνω είναι σωστά και δεν έχω χάσει κάπου.
Αλέξανδρος Συγκελάκης
- chris_gatos
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6962
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
- Τοποθεσία: Ανθούπολη
Re: ''πονηράδας''....συνέχεια.
Nομίζω Αλέξανδρε πως η λύση σου είναι μαθηματικά άρτια (δεδομένου της περασμένης ώρας).
Καληνύχτα και ευχαριστώ πολύ!
Καληνύχτα και ευχαριστώ πολύ!
Χρήστος Κυριαζής
-
- Δημοσιεύσεις: 870
- Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 10:22 am
- Τοποθεσία: Μουζάκι Καρδίτσας
- Επικοινωνία:
Re: ''πονηράδας''....συνέχεια.
....................chris_gatos έγραψε:Εστω f:[α,β]->[α,β] συνάρτηση για την οποία ισχύει:
|f(x)-f(ψ)|>=|χ-ψ|,για κάθε χ,ψ στο [α,β].
Να αποδείξετε οτι |f(x)-f(ψ)|=|χ-ψ| για κάθε χ,ψ στο [α,β]
Βρίσκω καταπληκτικό το αποτέλεσμα που δίνει η απόδειξη του Αλέξανδρου στην πολύ καλή, όπως αποδεικνύεται, έμπνευση της άσκησης.cretanman έγραψε:
....Συνεπώς
....
Μπράβο και στους δύο: Στον Αλέξανδρο και σ΄αυτόν που εμπνεύστηκε την άσκηση για τον οποίο δεν γνωρίζω κατά πόσο είχε υπόψιν του το αποτέλεσμα που δίνει η απόδειξη του Α. ή, αν φτάνει στο ζητούμενο, χωρίς αυτό!
Χρήστο, μήπως γνωρίζεις τη λύση που δίνει ο συγγραφέας;
Κώστας Σερίφης
- chris_gatos
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6962
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
- Τοποθεσία: Ανθούπολη
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4097
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: ''πονηράδας''....συνέχεια.
Ευχαριστώ πολύ για τα καλά σας λόγια κύριε Σερίφη!k-ser έγραψε: Μπράβο και στους δύο: Στον Αλέξανδρο και σ΄αυτόν που εμπνεύστηκε την άσκηση για τον οποίο δεν γνωρίζω κατά πόσο είχε υπόψιν του το αποτέλεσμα που δίνει η απόδειξη του Α. ή, αν φτάνει στο ζητούμενο, χωρίς αυτό!
Αλέξανδρος
Αλέξανδρος Συγκελάκης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 4 επισκέπτες