Εμβαδό και ακρότατα

mathxl · #1

Έστω $f\left( x \right)$ παραγωγίσιμη συνάρτηση με θετική παράγωγο στο [a,b]

όπου

Να δείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις ευθείες x=a,x=b

την γραφική παράσταση της συνάρτησης $f\left( x \right)$ και την ευθεία $y = f\left( c \right)$ όπου $c \in \left[ {a ,b } \right]$ , παίρνει την ελάχιστη τιμή του, όταν $c = \frac{{a + b }}{2}$

#2

Απλά η συνάρτηση του εμβαδού είναι η

$G(c)=\displaystyle\int_a^c\left[f(c)-f(t)\right] dt + \int_c^b\left[f(t)-f(c)\right] dt$ της οποίας η παράγωγος ως προς

είναι

$G^{\prime}(c)=f^{\prime}(c)(2c-a-b)$ η οποία μηδενίζεται για $c=\displaystyle\frac{a+b}{2}$ και το πρόσημο είναι φανερό εκατέρωθεν του $\displaystyle\frac{a+b}{2}$ (Κάνουμε χρήση του προσήμου της παραγώγου).

Αλέξανδρος

Εμβαδό και ακρότατα

Εμβαδό και ακρότατα

Re: Εμβαδό και ακρότατα

Μέλη σε σύνδεση