Απορία στην κυρτότητα
Συντονιστές: m.pαpαgrigorakis, Καρδαμίτσης Σπύρος, Πρωτοπαπάς Λευτέρης, R BORIS, KAKABASBASILEIOS, Μπάμπης Στεργίου
-
- Δημοσιεύσεις: 19
- Εγγραφή: Τρί Μάιος 17, 2022 3:51 pm
Απορία στην κυρτότητα
Καλησπέρα σας, θα ήθελα να παραθέσω την λύση μου πάνω σε μια άσκηση στην μελέτη κυρτότητας και να μου πείτε αν κάπου έχω κάνει λάθος.
Έχουμε,
η οποία ειναι παραγωγίσιμη στο 0 με , επομένως :
η οποία είναι συνεχής στο 0. Για την :
Τώρα η είναι συνεχής στο και οπότε απ' το θεώρημα της κυρτότητας η είναι κυρτή στο . Αντίστοιχα, συνεχής στο (αφου οριζεται για x>0) και άρα η είναι κοίλη στο . Σωστά ; Σε πολλές λύσεις βλέπω να παρουσιάζουν και στις 2 περιπτώσεις κλειστό διάστημα, αλλά δεν καταλαβαίνω το λόγο.
Ευχαριστώ.
Κωνσταντίνος, Μαθητής Γ' λυκείου.
Έχουμε,
η οποία ειναι παραγωγίσιμη στο 0 με , επομένως :
η οποία είναι συνεχής στο 0. Για την :
Τώρα η είναι συνεχής στο και οπότε απ' το θεώρημα της κυρτότητας η είναι κυρτή στο . Αντίστοιχα, συνεχής στο (αφου οριζεται για x>0) και άρα η είναι κοίλη στο . Σωστά ; Σε πολλές λύσεις βλέπω να παρουσιάζουν και στις 2 περιπτώσεις κλειστό διάστημα, αλλά δεν καταλαβαίνω το λόγο.
Ευχαριστώ.
Κωνσταντίνος, Μαθητής Γ' λυκείου.
Λέξεις Κλειδιά:
- exdx
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1733
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Απορία στην κυρτότητα
Εφόσον ορίζεται και είναι συνεχής στο άκρο του διαστήματος πρέπει να μπαίνει κλειστό και στις δύο περιπτώσεις.
Δες και τις ανάλογες ασκήσεις του σχολικού ( Π.χ Α ομάδα 3ιιι )
Όσο για το λόγο ... είναι θέμα ορισμού .
Δες και τις ανάλογες ασκήσεις του σχολικού ( Π.χ Α ομάδα 3ιιι )
Όσο για το λόγο ... είναι θέμα ορισμού .
Kαλαθάκης Γιώργης
-
- Δημοσιεύσεις: 19
- Εγγραφή: Τρί Μάιος 17, 2022 3:51 pm
Re: Απορία στην κυρτότητα
Σωστά όμως έτσι όπως έχω γράψει ορίζεται και ο δεύτερος κλάδος στο 0 ; Ή δεν μας πειράζει;
- exdx
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1733
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Απορία στην κυρτότητα
Δεν μας πειράζει . Εφόσον είναι συνεχής δεν έχει πλέον σημασία από ποιον κλάδο βρίσκουμε το
Ας δούμε και τη σχετική άσκηση .
Ας δούμε και τη σχετική άσκηση .
- Συνημμένα
-
- 1.png (17.46 KiB) Προβλήθηκε 1535 φορές
Kαλαθάκης Γιώργης
-
- Δημοσιεύσεις: 19
- Εγγραφή: Τρί Μάιος 17, 2022 3:51 pm
Re: Απορία στην κυρτότητα
Σας ευχαριστώ πολύ! Και κάτι άλλο. Έχω δει σε πάρα πολλές ασκήσεις όταν έχουμε μια δίκλαδη συνάρτηση (και η f" είναι θετικη ή αντίστοιχα αρνητική σε διάστημα) να μην εξετάζεται η συνέχεια της παραγώγου στο σημείο αλλαγής τύπου , αλλά να βγαίνει γενικό συμπέρασμα για την κυρτότητα της μόνο από την συνέχειά της δηλαδή ( κυρτή στο ή αντίστοιχα κοίλη). Αυτό δεν είναι λαθος ; Προσωπικά εξετάζω πάντα και την συνεχεια της πρωτού μιλήσω για κυρτότητα.
Ξέρουμε πως η f είναι παραγωγίσιμη στο .
Ξέρουμε πως η f είναι παραγωγίσιμη στο .
Re: Απορία στην κυρτότητα
και
Αν ναι , γιατί να έχουν διαφορετική μεταχείριση ;
-
- Δημοσιεύσεις: 19
- Εγγραφή: Τρί Μάιος 17, 2022 3:51 pm
Re: Απορία στην κυρτότητα
Είναι ίσες ναι. Επομένως επειδή η είναι συνεχής και στους 2 κλάδους στο 0 μπορούμε και βάζουμε κλειστό, σωστά ;
Re: Απορία στην κυρτότητα
Πολύ καλό το ερώτημά σου.konstantinos5 έγραψε: ↑Τρί Μάιος 17, 2022 11:23 pmΣας ευχαριστώ πολύ! Και κάτι άλλο. Έχω δει σε πάρα πολλές ασκήσεις όταν έχουμε μια δίκλαδη συνάρτηση (και η f" είναι θετικη ή αντίστοιχα αρνητική σε διάστημα) να μην εξετάζεται η συνέχεια της παραγώγου στο σημείο αλλαγής τύπου , αλλά να βγαίνει γενικό συμπέρασμα για την κυρτότητα της μόνο από την συνέχειά της δηλαδή ( κυρτή στο ή αντίστοιχα κοίλη). Αυτό δεν είναι λαθος ; Προσωπικά εξετάζω πάντα και την συνεχεια της πρωτού μιλήσω για κυρτότητα.
Ξέρουμε πως η f είναι παραγωγίσιμη στο .
Πρέπει να εξετάζουμε τη συνέχεια της παραγώγου στο για να μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η παράγωγος είναι γνησίως αύξουσα, ή γνησίως φθίνουσα, στο οπότε η είναι κυρτή, ή κοίλη, στο . Διαφορετικά θα πρέπει να πούμε ότι είναι κυρτή στα διαστήματα και .
Βέβαια θα είναι πάντα συνεχής η παράγωγος στο , εφόσον οι συναρτήσεις στις οποίες εξετάζεστε είναι δύο φορές παραγωγίσιμες στο πεδίο ορισμού τους.
-
- Δημοσιεύσεις: 19
- Εγγραφή: Τρί Μάιος 17, 2022 3:51 pm
Re: Απορία στην κυρτότητα
Σας ευχαριστώ πολύ.abgd έγραψε: ↑Τετ Μάιος 18, 2022 8:19 pmΠολύ καλό το ερώτημά σου.konstantinos5 έγραψε: ↑Τρί Μάιος 17, 2022 11:23 pmΣας ευχαριστώ πολύ! Και κάτι άλλο. Έχω δει σε πάρα πολλές ασκήσεις όταν έχουμε μια δίκλαδη συνάρτηση (και η f" είναι θετικη ή αντίστοιχα αρνητική σε διάστημα) να μην εξετάζεται η συνέχεια της παραγώγου στο σημείο αλλαγής τύπου , αλλά να βγαίνει γενικό συμπέρασμα για την κυρτότητα της μόνο από την συνέχειά της δηλαδή ( κυρτή στο ή αντίστοιχα κοίλη). Αυτό δεν είναι λαθος ; Προσωπικά εξετάζω πάντα και την συνεχεια της πρωτού μιλήσω για κυρτότητα.
Ξέρουμε πως η f είναι παραγωγίσιμη στο .
Πρέπει να εξετάζουμε τη συνέχεια της παραγώγου στο για να μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η παράγωγος είναι γνησίως αύξουσα, ή γνησίως φθίνουσα, στο οπότε η είναι κυρτή, ή κοίλη, στο . Διαφορετικά θα πρέπει να πούμε ότι είναι κυρτή στα διαστήματα και .
Βέβαια θα είναι πάντα συνεχής η παράγωγος στο , εφόσον οι συναρτήσεις στις οποίες εξετάζεστε είναι δύο φορές παραγωγίσιμες στο πεδίο ορισμού τους.
-
- Δημοσιεύσεις: 21
- Εγγραφή: Δευ Απρ 02, 2018 9:52 am
Re: Απορία στην κυρτότητα
Αν έχεις κάποια άσκηση που θες να δούμε πιο αναλυτικά να την ανεβάσεις, όμως υπάρχει η περίπτωση να βρίσκεσαι στο εξής στο λεπτό σημείο:konstantinos5 έγραψε: ↑Τρί Μάιος 17, 2022 11:23 pmΣας ευχαριστώ πολύ! Και κάτι άλλο. Έχω δει σε πάρα πολλές ασκήσεις όταν έχουμε μια δίκλαδη συνάρτηση (και η f" είναι θετικη ή αντίστοιχα αρνητική σε διάστημα) να μην εξετάζεται η συνέχεια της παραγώγου στο σημείο αλλαγής τύπου , αλλά να βγαίνει γενικό συμπέρασμα για την κυρτότητα της μόνο από την συνέχειά της δηλαδή ( κυρτή στο ή αντίστοιχα κοίλη). Αυτό δεν είναι λαθος ; Προσωπικά εξετάζω πάντα και την συνεχεια της πρωτού μιλήσω για κυρτότητα.
Ξέρουμε πως η f είναι παραγωγίσιμη στο .
Από τις οδηγίες διδασκαλίας την παραγράφου 2.8 (κυρτότητα) οι συναρτήσεις που θα μελετηθούν θα πρέπει να είναι -τουλάχιστον- δύο φορές παραγωγίσιμες στο εσωτερικό του πεδίου ορισμού τους.
( και γίνεται εξαίρεση των ερωτημάτων iv,v της άσκησης 3 από την παράγραφο 2.8 )
Ξέρεις βέβαια ότι αν είναι δύο φορές παραγωγίσιμη η , η είναι συνεχής, επομένως με αυτή την υπόθεση είναι πλεονασμός να εξετάσεις την συνέχεια της παραγώγου.
Προσοχή Κωνσταντίνε, η απάντηση μου δεν αφορά την γενική περίπτωση αλλά αποκλειστικά το πλαίσιο του σχολείου-εξετάσεων.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες