Για το πρώτο ερώτημα, απο το δοσμένο όριο , προκύπτει:
Και επειδή η
είναι συνεχής στο 1, ως παραγωγίσιμη , αυτό σημαίνει ότι:
Έπειτα απο τη σχέση μεταξύ
και
αν θέσουμε
προκύπτει
Και επειδή
για κάθε
, έπεται ότι
.
Απο το δοσμένο όριο και πάλι διαιρώντας με
και τα δύο μέλη, σχηματίζεται το
και προκύπτει
Παραγωγίζοντας τη δοσμένη σχέση μεταξύ
και
, αφού και οι δύο είναι παραγωγίσιμες θα προκύψει σχέση μεταξύ των παραγώγων των δύο συναρτήσεων και θέτοντας
θα προκύψει
Για το δεύτερο ερώτημα , πράγματι οι εφαπτομένες των
και g στο x_0=1 σχηματίζουν ισοσκελές τρίγωνο εμβαδού
με τον άξονα των
. Δεν ξέρω εδώ αν πρέπει να γίνω πιο αναλυτικός, νομίζω πως όχι, αν κάνω λάθος συγχωρέστε με.
Για το τρίτο ερώτημα, θεωρώ την συνάρτηση
με τύπο
Παρατηρώ ότι
και
επομένως απο Θεώρημα Μπολζάνο η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον λύση.
Για το τέταρτο ερώτημα, θεωρώ τη συνάρτηση
με τύπο
Παρατηρώ ότι
επομένως λόγω του Θεωρήματος Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον
τέτοιο ώστε
όπου είναι και το ζητούμενο.