ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

Πυθαγόρεια Τριάδα · #1

ΠΡΩΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ

Δίνονται οι συναρτήσεις $g : [0 , +\infty) \rightarrow \mathbb{R} , x \mapsto \frac{x}{x+1}$ και $f : \mathbb{R} \rightarrow [0, +\infty)$ . Υποθέτουμε ότι η

είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και ότι ικανοποιεί τη σχέση:
${f}''(x)(1+f(x)) \geq 2({f}'(x))^2$
1. Να δείξετε ότι η

είναι φραγμένη στο πεδίο ορισμού της.
2. Να αιτιολογήσετε ότι η συνάρτηση $h = g\circ f$ είναι καλώς ορισμένη και παραγωγίσιμη, καθώς και ότι η {h}'

είναι αύξουσα.
3. Να δείξετε ότι : $\forall x, y \in \mathbb{R} \rightarrow h(x) \geq h(y) + {h}'(y)(x-y)$
4.Να δείξετε ότι η

είναι σταθερή συνάρτηση.

#2

Διακρότημα Ψυχικού έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 22, 2022 11:20 am
ΠΡΩΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ

Δίνονται οι συναρτήσεις $g : [0 , +\infty) \rightarrow \mathbb{R} , x \mapsto \frac{x}{x+1}$ και $f : \mathbb{R} \rightarrow [0, +\infty)$ . Υποθέτουμε ότι η είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και ότι ικανοποιεί τη σχέση:
${f}''(x)(1+f(x)) \geq 2({f}'(x))^2$
1. Να δείξετε ότι η είναι φραγμένη στο πεδίο ορισμού της.
2. Να αιτιολογήσετε ότι η συνάρτηση $h = g\circ f$ είναι καλώς ορισμένη και παραγωγίσιμη, καθώς και ότι η είναι αύξουσα.
3. Να δείξετε ότι : $\forall x, y \in \mathbb{R} \rightarrow h(x) \geq h(y) + {h}'(y)(x-y)$
4.Να δείξετε ότι η είναι σταθερή συνάρτηση.

1. Άμεσο αφού για $x\ge 0$ είναι $\dfrac{x}{x+1}<1$ .

2. To πρώτο μέρος, άμεσο. Επίσης από την $h(x)= \dfrac{f(x)}{1+f(x)}$ έχουμε $h'(x)= \dfrac{f'(x)}{(1+f(x))^2}$ και $h''(x)= \dfrac{f''(x)(1+f(x))-2(f'(x))^2}{(1+f(x))^3} \ge 0$ (από την υπόθεση). Άρα

αύξουσα.

3. Αν x>y

υπάρχει $\xi$ με $x>\xi >y$ και με $h(x)-h(y) = h'(\xi) (x-y) \,(*)$ . Αλλά από το προηγούμενο είναι $h'(\xi ) \ge h'(y)$ , οπότε το δεξί μέλος της (*)

είναι $\ge h'(y)(x-y)$ , από όπου το ζητούμενο.

Για x<y

, όμοια μόνο χρειάζεται λίγο προσοχή γιατί τώρα x-y<0

αλλά θα γίνει χρήση του $h'(\xi) \le h'(y)$ .

4. Αν η

δεν ήταν

θα υπήρχε

με $h'(y_0)\ne 0$ . Έστω πρώτα h'(y_0) >0

. Παίρνοντας όριο $x\to \infty$ στην $h(x) \geq h(y_0) + {h}'(y_0)(x-y_0)$ συμπεραίνουμε ότι $h(x) \to \infty$ . Αλλά αυτό είναι άτοπο αφού η

και άρα η

είναι άνω φραγμένη (από το

).

Η περίπτωση h'(y_0) <0

γίνεται όμοια με μόνη διαφορά ότι παίρνουμε όριο $x \to -\infty$ .

Τώρα, αφού για κάθε

είναι

, από την $h'(x)= \dfrac{f'(x)}{(1+f(x))^2}$ θα έχουμε και f'(x)=0

. Τελειώσαμε.

Σχόλιο: Καλό είναι οι θεματοθέτες να μην κάνουν έμμεση διαφήμιση Φροντιστηρίου. Δεν έχω τίποτα με τα Φροντιστήρια, ίσα ίσα υποστηρίζω τον θεσμό (και έμπρακτα αφού είχα την τιμή να προσκληθώ τρεις φορές από τον ΟΕΦΕ στο ετήσιο συνέδριό τους για κεντρική ομιλία, και συχνά με προσκαλούν σε τοπικά Φροντιστηρια για ομιλίες, και έχω γράψει βιβλίο με δύο φροντιστές, και λοιπά και λοιπά) αλλά εδώ στο φόρουμ καλό είναι να υπογράφουμε σεμνά και ταπεινά ως άτομα και όχι με user name το όνομα επιχείρησης. Σε αυτό το φόρουμ οι άνθρωποι έχουν προτεραιότητα.

#3

Διακρότημα Ψυχικού έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 22, 2022 11:20 am

1. Να δείξετε ότι η είναι φραγμένη στο πεδίο ορισμού της.

Μπορείτε να μου πείτε που ακριβώς δίνεται ο ορισμός της φραγμένης συνάρτησης στο σχολικό βιβλίο ;

Λευτέρης Παπανικολάου · #4

exdx έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 22, 2022 5:23 pm

Διακρότημα Ψυχικού έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 22, 2022 11:20 am

1. Να δείξετε ότι η είναι φραγμένη στο πεδίο ορισμού της.

Μπορείτε να μου πείτε που ακριβώς δίνεται ο ορισμός της φραγμένης συνάρτησης στο σχολικό βιβλίο ;

Είναι σαφές ότι δεν υπάρχει αυτός ο ορισμός στο σχολικό βιβλίο. Νομίζω ότι είχε ξανατεθεί ανάλογο θέμα και η ανάρτηση είχε γίνει πάλι υπό το όνομα ''Διακρότημα Ψυχικού'' όπου είχε ξαναεπισημανθεί το συγκεκριμένο. Κατά τη γνώμη μου, θα μπορούσε να ανέβει σε άλλο φάκελο ή να δοθεί ο σχετικός ορισμός από το θεματοδότη. Επίσης να πω ότι συμφωνώ και με το παραπάνω σχόλιο του κυρίου Λάμπρου

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

Re: ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

Re: ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

Re: ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

Μέλη σε σύνδεση