Δραστηριότητα Γ' Λυκείου

[Maidenas]

Το παρακάτω απόσπασμα προέρχεται από μια συζήτηση στην τάξη ενός
μαθητή Γ´ Λυκείου με τον καθηγητή του σχετικά με το πλήθος των σημείων
των ευθυγράμμων τμημάτων ΑΒ και ΓΔ

Κ (Καθηγητής): το τμήμα ΓΔ έχει περισσότερα σημεία από το ΑΒ
εφόσον έχει μεγαλύτερο μήκος ;
Μ (Μαθητής): όχι, το ΑΒ και το ΓΔ έχουν τον ίδιο αριθμό σημείων
εφόσον όπως ξέρουμε κάθε ευθύγραμμο τμήμα έχει άπειρα σημεία.
Κ : αν όμως τοποθετήσουμε το τμήμα ΑΒ πάνω στο ΓΔ ώστε τα Α και Γ
να ταυτίζονται τότε σύμφωνα με όσα λες αυτά τα δυο τμήματα πρέπει να
έχουν τον ίδιο αριθμό σημείων. Γίνεται ωστόσο ένα τμήμα να έχει τον ίδιο
αριθμό σημείων με ένα υποσύνολο του ; Αυτό μου μοιάζει περίεργο
Μ : και εγώ δεν το καταλαβαίνω εντελώς, αλλά ωστόσο έτσι έχουμε μάθει
Κ : πως δέχεσαι κάτι όταν αυτό δεν είναι συμβατό με την διαίσθηση σου ;
Μ : σκέφτομαι ότι κάποιος λόγος θα υπάρχει που δεν μπορώ εγώ να το
σκεφτώ, ότι κάπως θα αποδεικνύεται
Κ : μπορεί να αποδεικνύεται κάτι στα μαθηματικά που να είναι ενάντια
στη διαίσθηση ;
Μ. : συχνά στα μαθηματικά έχουμε αποτελέσματα που δεν τα
καταλαβαίνουμε αλλά όμως αποδεικνύονται και άρα ισχύουν. Τα
μαθηματικά είναι συνήθως απομονωμένα από την κοινή διαίσθηση.


Πως θα μπορούσε ένας καθηγητής να εξηγήσει σε έναν μαθητή Γ' Λυκείου οτι η πληθυκότητα σημείων αυτών των δύο ευθυγραμμων τμημάτων είναι ίσος;
Τι άλλα παραδείγματα ή δραστηριότητες θα μπορούσε να χρησιμοποιήσει για να του εξηγήσει την έννοια της πληθυκότητας;

[Λάμπρος Κατσάπας]

Διαισθάνομαι ότι πρόκειται για ερώτημα κάποιας εργασίας.

Δίνω μόνο μια υπόδειξη. Βάλε στο χαρτί από πάνω το μεγάλο τμήμα και και από κάτω το μικρό. Ένωσε με ευθ.τμήματα τα άκρα των δύο τμημάτων και προέκτεινέ τα μέχρι να συναντηθούν σε ένα σημείο, έστω
Από το σημείο αυτό φέρε, αρκετές, ημιευθείες προς τα δύο τμήματα.

Αλλιώς: φαντάσου ότι τα δύο τμήματα είναι ελαστικά. Με αυτά φτιάξε δύο ομόκεντρους κύκλους. Από το κέντρο τώρα φέρε μπόλικες ακτίνες του μεγάλου.

Σημειωτέον ότι έχουμε δύο τρόπους να μετράμε τα στοιχεία ενός συνόλου. Ή ένα ένα κάθε φορά (counting) ή ταιριάζοντάς τα ένα ένα με τα στοιχεία ενός άλλου συνόλου που μας είναι γνωστό (matching). Στα απειροσύνολα προφανώς ο πρώτος τρόπος δεν μας λέει τίποτα το σπουδαίο.

[Maidenas]

Πολύ ωραία ιδέα !
Ήταν δραστηριότητα πάνω στην διδακτική του Απειροστικού Λογισμού.
Ευχαριστώ πολύ!

[Mihalis_Lambrou]

Πολύ ωραία ιδέα !
Ήταν δραστηριότητα πάνω στην διδακτική του Απειροστικού Λογισμού.
Ευχαριστώ πολύ!

Για την ιστορία, η τεχνική αυτή της 1-1 απεικόνισης ενός τμήματος με άκρα στις πλευρές τριγώνου με την βάση του τριγώνου, οφείλεται στον Γαλιλαίο. Ο ίδιος διαπίστωσε και την ισοπληθικότητα του συνόλου με το γνήσιο υποσύνολό του μέσω της .

Eκείνο τον καιρό δεν είχαν διασαφηνιστεί οι ιδιότητες-παράδοξα του απείρου, που έπρεπε να περιμένουν μέχρι τον Cantor.

Νομίζω ότι ως εργασία στον Απειροστικό (*) θα ήταν επικοδομητικό για τον μαθητή να μελετήσει τις πρώτες λίγες σελίδες οποιουδήποτε εισαγωγικού βιβλίου με την Θεωρία Cantor. Υπάρχουν πολλά εκλαϊκευτικά. Αν μείνει μόνο στα παραπάνω μάλλον θα χάσει την ουσία και δεν θα δει υπάροχα Μαθηματικά.

(*) Βέβαια το θέμα αυτό δεν έχει σχέση με τον Απειροστικό Λογισμό. Άλλη η οπτική του ενός θέματος, άλλη του άλλου.