Ανισότητα

Συντονιστές: R BORIS, KAKABASBASILEIOS, Μπάμπης Στεργίου, m.pαpαgrigorakis, Καρδαμίτσης Σπύρος, Πρωτοπαπάς Λευτέρης

geo70
Δημοσιεύσεις: 2
Εγγραφή: Σάβ Μάιος 18, 2013 9:21 am

Ανισότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από geo70 » Κυρ Απρ 18, 2021 6:04 pm

Ν.Δ.Ο. e^{2}< 8



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13335
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ανισότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Απρ 18, 2021 6:08 pm

geo70 έγραψε:
Κυρ Απρ 18, 2021 6:04 pm
Ν.Δ.Ο. e^{2}< 8
Επειδή παραείναι απλή η άσκηση θα δώσω μόνο υπόδειξη:

Θυμίσου την τιμή του e. Μετά στρογγυλοποίησε προς τα πάνω το πρώτο δεκαδικό ψηφίο της τιμής αυτής.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12552
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ανισότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Απρ 19, 2021 8:28 pm

Λογαριθμίζοντας , παίρνουμε : 2<ln2^3\Leftrightarrow ln2>\dfrac{2}{3} . Αν για κάποιο λόγο θεωρήσουμε γνωστό

ότι : ln2\simeq 0.693 , η ανισότητα καθίσταται προφανής .

Σημείωση 1 : Είναι γνωστό ( από Θ.Μ.Τ) ότι : lnx>\dfrac{x-1}{x} , \forall x >0 . Δυστυχώς η ανισότητα

αυτή δεν δίνει απάντηση στο πρόβλημά μας .

Σημείωση 2 : Εμείς θέλουμε να ισχύει : lnx>\dfrac{x}{x+1} , \forall x \geq 2 . Αν θεωρήσουμε την :

f(x)=lnx-\dfrac{x}{x+1} , βρίσκουμε ότι είναι γνησίως αύξουσα με ( μοναδική ) ρίζα

την : x\simeq 1.933 . Αλλά αυτή η ρίζα βρέθηκε με λογισμικό :ewpu:

Σημείωση 3 : Τέτοιες ανισότητες μεταξύ σταθερών αριθμών μπορεί να είναι από ... αστείες

έως αδιάφορες . Γράφω κι εγώ μία : Να δειχθεί ότι : 2\pi+e>9


Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2945
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Δευ Απρ 19, 2021 9:31 pm

Χρήσιμη, και εδώ και αλλού, είναι και η e<\dfrac{11}{4}: στην παρούσα περίπτωση ... e^2<\dfrac{121}{16}<8.

Απόδειξη της e<\dfrac{11}{4}: ισχύει η

\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{24}+\dfrac{1}{120}+\dfrac{1}{720}<\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{25}+\dfrac{1}{125}+\dfrac{1}{625}

(ισοδύναμη προς την \dfrac{157}{720}<\dfrac{156}{625}), οπότε η ζητούμενη προκύπτει από την

e=\dfrac{1}{0!}+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\dfrac{1}{4!}+\dfrac{1}{5!}+\dfrac{1}{6!}+...<

<1+1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5^2}+\dfrac{1}{5^3}+\dfrac{1}{5^4}+...= \dfrac{5}{2}+\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{5}{4}=\dfrac{11}{4}.


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1931
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Ανισότητα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Τρί Απρ 20, 2021 9:56 am

\sqrt{8}=2\sqrt{2}>2\cdot 1.4=2.8>e


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Άβαταρ μέλους
Λάμπρος Μπαλός
Δημοσιεύσεις: 947
Εγγραφή: Τρί Αύγ 13, 2013 12:21 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: Ανισότητα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Μπαλός » Τρί Απρ 20, 2021 4:42 pm

\frac{ln2-ln1}{2-1}>\frac{2}{2+1} \Leftrightarrow ln2 > \frac{2}{3} \Leftrightarrow ln8>2 \Leftrightarrow 8>e^{2}


Λάμπρος Μπαλός
lamprosbalos81@gmail.com
Άβαταρ μέλους
Λάμπρος Μπαλός
Δημοσιεύσεις: 947
Εγγραφή: Τρί Αύγ 13, 2013 12:21 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: Ανισότητα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Μπαλός » Τρί Απρ 20, 2021 8:25 pm

Επειδή μου ζητήθηκε (ορθώς) από τον χρήστη KARKAR -τον οποίο ευχαριστώ- μια δικαιολόγηση, δίνω μια απόδειξη της ανισότητας λογαριθμικού μέσου - αριθμητικού μέσου που χρησιμοποιώ παραπάνω.

Θεωρώ τη συνάρτηση f(x)= lnx-2 \frac{x-1}{x+1}, η οποία είναι γνησίως αύξουσα στο [1, + \infty) διότι
f'(x)=\frac{1}{x}-2\frac{x+1-x+1}{(x+1)^{2}}= \frac{(x+1)^{2}-4x}{x(x+1)^{2}}=\frac{(x-1)^{2}}{x(x+1)^{2}}>0 , για x>1.

Για b>a, f(\frac{b}{a})>f(1) από όπου προκύπτει η γνωστή

\frac{lnb-lna}{b-a}>\frac{2}{b+a}.


Λάμπρος Μπαλός
lamprosbalos81@gmail.com
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες