Ασκηση

Συντονιστές: Πρωτοπαπάς Λευτέρης, R BORIS, KAKABASBASILEIOS, Μπάμπης Στεργίου, m.pαpαgrigorakis, Καρδαμίτσης Σπύρος

stamas1
Δημοσιεύσεις: 30
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 19, 2019 5:43 pm

Ασκηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stamas1 » Πέμ Μάιος 21, 2020 3:34 pm

\displaystyle f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},f(x)=g(x^2)-g(x)+x^2 για κάθε \displaystyle x\in \mathbb{R}\displaystyle g(x) ειναι παραγωγισιμη συναρτηση με \displaystyle g'(x)> 0 για καθε \displaystyle x\in \mathbb{R}.Νδο υπαρχει \displaystyle x_{0} \in \mathbb{R} τετοιο ωστε \displaystyle f(x_{0})< 0. Εχω κολλήσει παιδια καμια βοήθεια ?



Λέξεις Κλειδιά:
miltosk
Δημοσιεύσεις: 68
Εγγραφή: Τετ Μάιος 29, 2019 7:28 pm

Re: Ασκηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από miltosk » Πέμ Μάιος 21, 2020 4:13 pm

stamas1 έγραψε:
Πέμ Μάιος 21, 2020 3:34 pm
\displaystyle f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},f(x)=g(x^2)-g(x)+x^2 για κάθε \displaystyle x\in \mathbb{R}\displaystyle g(x) ειναι παραγωγισιμη συναρτηση με \displaystyle g'(x)> 0 για καθε \displaystyle x\in \mathbb{R}.Νδο υπαρχει \displaystyle x_{0} \in \mathbb{R} τετοιο ωστε \displaystyle f(x_{0})< 0. Εχω κολλήσει παιδια καμια βοήθεια ?
Έστω f(x)\geq 0, για κάθε x\in \mathbb{R}.
Παρατήρησε ότι f(0)=0 (f παραγωγίσιμη ως πράξεις και σύνθεση παραγωγίσιμων κλπ). Με Fermat λοιπόν f'(0)=0. Όμως f'(x)=2xg'(x^2)-g'(x)+2x.
Άρα f'(0)=g'(0)\Rightarrow g'(0)=0, άτοπο.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3030
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ασκηση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Μάιος 21, 2020 7:31 pm

stamas1 έγραψε:
Πέμ Μάιος 21, 2020 3:34 pm
\displaystyle f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},f(x)=g(x^2)-g(x)+x^2 για κάθε \displaystyle x\in \mathbb{R}\displaystyle g(x) ειναι παραγωγισιμη συναρτηση με \displaystyle g'(x)> 0 για καθε \displaystyle x\in \mathbb{R}.Νδο υπαρχει \displaystyle x_{0} \in \mathbb{R} τετοιο ωστε \displaystyle f(x_{0})< 0. Εχω κολλήσει παιδια καμια βοήθεια ?
Το μόνο που χρειάζεται είναι ότι \displaystyle g'(0)> 0
και το αποτέλεσμα είναι ότι
\displaystyle f(x)<0 για x\in (0,\delta )
οπου \delta είναι κατάλληλος θετικός.

Πράγματι εύκολα βλέπουμε ότι f(0)=0,f'(0)<0
Ετσι \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{x}=f'(0)< 0
Αρα \displaystyle\frac{f(x)}{x}< 0 κοντά στο 0 οπότε προκύπτει άμεσα.


Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1836
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Ασκηση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Σάβ Μάιος 23, 2020 2:38 pm

stamas1 έγραψε:
Πέμ Μάιος 21, 2020 3:34 pm
\displaystyle f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},f(x)=g(x^2)-g(x)+x^2 για κάθε \displaystyle x\in \mathbb{R}\displaystyle g(x) ειναι παραγωγισιμη συναρτηση με \displaystyle g'(x)> 0 για καθε \displaystyle x\in \mathbb{R}.

1)Να δείξετε ότι υπαρχει \displaystyle x_{0} \in \mathbb{R} τετοιο ωστε \displaystyle f(x_{0})< 0.
2) Να αποδειχθεί ότι η C_f τέμνει τον θετικό οριζόντιο ημιάξονα σε ένα τουλάχιστον σημεία.

3) Να αποδειχθεί ότι υπάρχει \xi \in(0,1) όπου f(x)\ge f(\xi) για κάθε x \in \mathbb{R} και f\xi)<0.

4) Να βρεθούν τα \underset{x\to \pm\infty}{lim} f(x).

Αλλα περισσότερο με απασχόλησε ένα κάπως διερευνητικό, είναι δυνατόν να προσδιορίσουμε την μονοτονία της f στο [0,+\infty)] και αν όχι ποιά θα ήταν άραγε η ελάχιστη προσθήκη στα δεδομένα :?

Υ.Γ.:Εκανα μια διόρθωση στο ερώτημα Α απο δύο σε ένα.


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Μάρκος Βασίλης
Δημοσιεύσεις: 195
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 31, 2019 5:47 pm
Τοποθεσία: Καισαριανή
Επικοινωνία:

Re: Ασκηση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάρκος Βασίλης » Σάβ Μάιος 23, 2020 7:10 pm

Christos.N έγραψε:
Σάβ Μάιος 23, 2020 2:38 pm
stamas1 έγραψε:
Πέμ Μάιος 21, 2020 3:34 pm
\displaystyle f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},f(x)=g(x^2)-g(x)+x^2 για κάθε \displaystyle x\in \mathbb{R}\displaystyle g(x) ειναι παραγωγισιμη συναρτηση με \displaystyle g'(x)> 0 για καθε \displaystyle x\in \mathbb{R}.

1)Να δείξετε ότι υπαρχει \displaystyle x_{0} \in \mathbb{R} τετοιο ωστε \displaystyle f(x_{0})< 0.
2) Να αποδειχθεί ότι η C_f τέμνει τον θετικό οριζόντιο ημιάξονα σε ένα τουλάχιστον σημεία.

3) Να αποδειχθεί ότι υπάρχει \xi \in(0,1) όπου f(x)\ge f(\xi) για κάθε x \in \mathbb{R} και f\xi)<0.

4) Να βρεθούν τα \underset{x\to \pm\infty}{lim} f(x).

Αλλα περισσότερο με απασχόλησε ένα κάπως διερευνητικό, είναι δυνατόν να προσδιορίσουμε την μονοτονία της f στο [0,+\infty)] και αν όχι ποιά θα ήταν άραγε η ελάχιστη προσθήκη στα δεδομένα :?

Υ.Γ.:Εκανα μια διόρθωση στο ερώτημα Α απο δύο σε ένα.
2) Η g είναι παραγωγίσιμη, άρα και συνεχής και f(1)=-1>0 ενώ f(x_0)<0, άρα η f έχει μία τουλάχιστον ρίζα μεταξύ των x_0 και 1. Αρκεί να δείξουμε τώρα ότι x_0>0. Πέρα από το πώς αυτό έχει δειχθεί παραπάνω, μπορούμε να εργαστούμε και ως εξής: Γνωρίζουμε ότι f(x_0)<0 δηλαδή:

\displaystyle{g(x_0^2)-g(x_0)+x_0^2<0\Rightarrow g(x_0^2)-g(x_0)<0\Leftrightarrow g(x_0^2)<g(x_0)\Leftrightarrow x_0^2<x_0\Leftrightarrow x_0\in(0,1)}

επομένως x_0>0 - χρησιμοποιήσαμε τη μονοτονία της g.

3) Παραπάνω δείξαμε ουσιαστικά ότι αναγκαία συνθήκη για να έχουμε f(x)<0 είναι να ισχύει x\in(0,1). Επομένως, για x\not\in(0,1) έχουμε f(x)\geq0. Τώρα, η f είναι συνεχής στο [0,1] επομένως, από το ΘΜΕΤ, υπάρχει \xi\in[0,1] τέτοιο ώστε f(\xi)\leq f(x) για κάθε x\in[0,1]. Ειδικότερα, για x=x_0 έχουμε f(\xi)\le f(x_0)<0 επομένως, από τα παραπάνω, έπεται ότι \xi\neq0,1 άρα \xi\in(0,1) και ότι f(x)\ge f(\xi) για κάθε x\in\mathbb{R}.

4) Από τη μονοτονία της g έπεται ότι για x>1 ισχύει g(x^2)>g(x)\Leftrightarrow g(x^2)-g(x)>0\Rightarrow f(x)>x^2. Ομοίως και για x<0, άρα και τα δύο όρια δίνουν +\infty.

Στα πιο ενδιαφέροντα, τώρα, για τη μονοτονία, νομίζω ότι δεν μπορούμε με αυτές τις υποθέσεις να βρούμε κάτι. Για παράδειγμα, αν g(x)=ax, για a>0, έχουμε:

\displaystyle{f(x)=(a+1)x^2-ax,}

η οποία είναι γνησίως αύξουσα στο [\frac{a}{a+1},+\infty) και γνησίως φθίνουσα στο [0,\frac{a}{a+1}].


\textcolor{blue}{\forall after-maths}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης