Άσκηση

Συντονιστές: R BORIS, KAKABASBASILEIOS, Μπάμπης Στεργίου, m.pαpαgrigorakis, Καρδαμίτσης Σπύρος, Πρωτοπαπάς Λευτέρης

Math124
Δημοσιεύσεις: 14
Εγγραφή: Κυρ Απρ 05, 2020 2:15 pm

Άσκηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Math124 » Πέμ Μάιος 14, 2020 2:19 pm

Δίνεται η f(x)=e^{x-1}+x-1
1)Να δείξετε ότι η εξίσωση \displaystyle{f(x)=0} έχει μοναδική λύση \displaystyle{\xi} στο \displaystyle{(0,1)}
2)Να βρείτε το \xi αν η εφαπτομένη της \displaystyle{C_f} στο \xi διέρχεται από το σημείο \displaystyle{Α(5/2,3)}


Μήπως μπορεί κάποιος να βοηθήσει στο 2); καταλήγω σε μια εξίσωση η οποία δεν λύνεται αλγεβρικά
τελευταία επεξεργασία από matha σε Πέμ Μάιος 14, 2020 9:08 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: LaTeX



Λέξεις Κλειδιά:
BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1433
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: Άσκηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Πέμ Μάιος 14, 2020 2:55 pm

Γεια χαρά. Έχεις f^{\prime}(x)=e^{x-1}+1\,,x\in\mathbb{R}, άρα η εξίσωση εφαπτομένης της C_{f} στο (\xi,f(\xi)) είναι :

y-f(\xi)=f^{\prime}(\xi)(x-\xi)\iff y=f^{\prime}(\xi)(x-\xi). Τώρα, για x=\dfrac{5}{2}\,,y=3 προκύπτει

3=(e^{\xi-1}+1)\,\left(\dfrac{5}{2}-\xi\right) και σκέψου πώς μπορείς να εκμεταλλευτείς τη σχέση f(\xi)=0.

Y.Γ : Κάτι δεν μου αρέσει όμως, αν την κάνεις γράψε τι βρήκες.


Παπαπέτρος Ευάγγελος
Math124
Δημοσιεύσεις: 14
Εγγραφή: Κυρ Απρ 05, 2020 2:15 pm

Re: Άσκηση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Math124 » Πέμ Μάιος 14, 2020 3:00 pm

Ευχαριστώ για την απαντηση ...Τελικά βρήκα που έκανα λάθος...βρήκα \displaystyle{\xi =\frac{1}{2}}
τελευταία επεξεργασία από matha σε Πέμ Μάιος 14, 2020 9:08 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: LaTeX


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3307
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Άσκηση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Μάιος 14, 2020 3:17 pm

Math124 έγραψε:
Πέμ Μάιος 14, 2020 3:00 pm
Ευχαριστώ για την απαντηση ...Τελικά βρήκα που έκανα λάθος...βρήκα ξ=1/2
Για κοίτα αν αυτό που βρήκες είναι ρίζα της εξίσωσης;
Αν θες γράψε από που είναι η άσκηση.

Αφού ξέρεις να γράφεις σε tex γιατί δεν τα γράφεις όλα;
Αν οι Γ.Σ τα σβήσουν όλα θα έχουν άδικο;


panagiotis iliopoulos

Re: Άσκηση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από panagiotis iliopoulos » Πέμ Μάιος 14, 2020 4:44 pm

Το πρώτο ερώτημα είναι απλό με Bolzano και τη μονοτονία της συνάρτησης. Για το δεύτερο ερώτημα εφόσον f(r)=0\Rightarrow e^{r-1}=1-r.

Από το άλλο δεδομένο προκύπτει (με χρήση της παραπάνω σχέσης) ότι 2r^{2}-9r+4=0\Rightarrow r_{1}=\frac{1}{2}, r_{2}=4..


Δεκτή μόνο η r=\frac{1}{2} διότι μόνο αυτή ανήκει στο επιθυμητό διάστημα. Το περίεργο όμως είναι ότι ο αριθμός αυτός δεν επαληθεύει την εξίσωση f(x)=0.


Μήπως έχει γίνει κάποιο λάθος στην εκφώνηση της άσκησης; Μάλλον έχει δίκιο ο κύριος Παπαπέτρος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης