Άσκηση

Συντονιστές: R BORIS, KAKABASBASILEIOS, Μπάμπης Στεργίου, m.pαpαgrigorakis, Καρδαμίτσης Σπύρος, Πρωτοπαπάς Λευτέρης

Math124
Δημοσιεύσεις: 14
Εγγραφή: Κυρ Απρ 05, 2020 2:15 pm

Άσκηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Math124 » Κυρ Απρ 05, 2020 2:30 pm

Δίνεται η \displaystyle{f(x)=x+1+\frac{2}{1+e^x}}, όπου \displaystyle{x\in \mathbb{R}.}
1) Να δείξετε ότι υπάρχει 1 τουλάχιστον \displaystyle{\xi \in (-3,-2)} τέτοιο ώστε \displaystyle{f(\xi)=0} και \displaystyle{f(-\xi)=4}
2)Να δείξετε ότι υπάρχει 1 τουλάχιστον \displaystyle{x_0\in \mathbb{R}} για το οποίο ισχύει \displaystyle{f'(x_0)=-\frac{2}{\xi}} όπου \displaystyle{\xi} σημείο του ερωτήματος 1

Μήπως μπορεί κάποιος να βοηθήσει;
τελευταία επεξεργασία από matha σε Κυρ Απρ 05, 2020 6:43 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Μετατροπή σε LaTeX.



Λέξεις Κλειδιά:
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 650
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Άσκηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Κυρ Απρ 05, 2020 3:11 pm

Καλησπέρα!

Διάβασε του κανονισμούς του :logo: . Πρέπει να γράφεις σε latex.

Η εκφώνηση μπορεί να βελτιωθεί αλλά ας σου δώσω μια υπόδειξη σε αυτή.
Math124 έγραψε:
Κυρ Απρ 05, 2020 2:30 pm
Δίνεται η f(x)=x+1+\dfrac{2}{1+e^x}, όπου x \in \mathbb{R}.
1) Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον \xi \in (-3,-2) τέτοιο ώστε f(\xi)=0 και f(-\xi)=4.
2) Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον x_0 \in \mathbb{R} για το οποίο ισχύει {f}'(x_0)=-\dfrac{2}{\xi} όπου \xi το σημείο του πρώτου ερωτήματος .
1)Θεώρημα BOLZANO στο (-3,-2) για το f(\xi)=0 και ενδιάμεσων τιμών για το f(-\xi)=4 στο (2,3).

2) Ποιο είναι το σύνολο τιμών της παραγώγου; Ποιο είναι το διάστημα στο ποίο ανήκει το -\dfrac{2}{\xi} και το οποίο μπορείς να το συμπεράνεις εύκολα από το πρώτο ερώτημα;


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12181
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Άσκηση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Απρ 05, 2020 3:13 pm

Math124 έγραψε:
Κυρ Απρ 05, 2020 2:30 pm
Δίνεται η f(x)=x+1+(2/1+e^x) , όπου x ανήκει R
1) Να δείξετε ότι υπάρχει 1 τουλάχιστον ξ ανήκει (-3,-2) τέτοιο ώστε f(ξ)=0 και f(-ξ)=4
2)Να δείξετε ότι υπάρχει 1 τουλάχιστον χ0 ανήκει R για το οποίο ισχύει f'(x0)=-2/ξ όπου ξ σημείο του ερωτήματος 1

Μήπως μπορεί κάποιος να βοηθήσει;
Καλώς ήλθες στο φόουμ.

Παρακαλώ γράψε το ποστ σου σε latex, όπως πολύ σωστά απαιτούν οι κανονισμοί μας. Τους διάβασες; Θα τους βρεις στην πρώτη σελίδα του ιστότοπου.

Η παραπάνω άσκηση ενδεχομένως να είναι "άσκηση για το σπίτι" από μαθήματα που παρακολουθείς, ιδίως αυτόν τον καιρό που όλοι εργαζόμαστε διαδικτυακά. Υπόψη το mathematica δεν είναι λυσάρι και δεν σκοπεύουμε να παρακάμψουμε τους Δασκάλους σου.

Δείξε μας την δουλειά σου (σε latex) και θα σου δώσουμε υπόδειξη για το παρακάτω.


Math124
Δημοσιεύσεις: 14
Εγγραφή: Κυρ Απρ 05, 2020 2:15 pm

Re: Άσκηση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Math124 » Κυρ Απρ 05, 2020 4:35 pm

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Κυρ Απρ 05, 2020 3:11 pm
Καλησπέρα!

Διάβασε του κανονισμούς του :logo: . Πρέπει να γράφεις σε latex.

Η εκφώνηση μπορεί να βελτιωθεί αλλά ας σου δώσω μια υπόδειξη σε αυτή.
Math124 έγραψε:
Κυρ Απρ 05, 2020 2:30 pm
Δίνεται η f(x)=x+1+\dfrac{2}{1+e^x}, όπου x \in \mathbb{R}.
1) Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον \xi \in (-3,-2) τέτοιο ώστε f(\xi)=0 και f(-\xi)=4.
2) Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον x_0 \in \mathbb{R} για το οποίο ισχύει {f}'(x_0)=-\dfrac{2}{\xi} όπου \xi το σημείο του πρώτου ερωτήματος .
1)Θεώρημα BOLZANO στο (-3,-2) για το f(\xi)=0 και ενδιάμεσων τιμών για το f(-\xi)=4 στο (2,3).

2) Ποιο είναι το σύνολο τιμών της παραγώγου; Ποιο είναι το διάστημα στο ποίο ανήκει το -\dfrac{2}{\xi} και το οποίο μπορείς να το συμπεράνεις εύκολα από το πρώτο ερώτημα;

Για το 2ο ερώτημα ήθελα μια βοήθεια η αλήθεια είναι..προσπαθούσα να το λύσω με Rolle στην f αλλά δεν μπορούσα να βρω διάστημα...Αυτό που είπατε με το σύνολο τιμών της f' ήταν πολύ πιο εύκολο..Σας ευχαριστώ...και έχετε δίκαιο θα διαβάσω τους κανονισμούς..


Math124
Δημοσιεύσεις: 14
Εγγραφή: Κυρ Απρ 05, 2020 2:15 pm

Re: Άσκηση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Math124 » Κυρ Απρ 05, 2020 4:39 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Κυρ Απρ 05, 2020 3:13 pm
Math124 έγραψε:
Κυρ Απρ 05, 2020 2:30 pm
Δίνεται η f(x)=x+1+(2/1+e^x) , όπου x ανήκει R
1) Να δείξετε ότι υπάρχει 1 τουλάχιστον ξ ανήκει (-3,-2) τέτοιο ώστε f(ξ)=0 και f(-ξ)=4
2)Να δείξετε ότι υπάρχει 1 τουλάχιστον χ0 ανήκει R για το οποίο ισχύει f'(x0)=-2/ξ όπου ξ σημείο του ερωτήματος 1

Μήπως μπορεί κάποιος να βοηθήσει;
Καλώς ήλθες στο φόουμ.

Παρακαλώ γράψε το ποστ σου σε latex, όπως πολύ σωστά απαιτούν οι κανονισμοί μας. Τους διάβασες; Θα τους βρεις στην πρώτη σελίδα του ιστότοπου.

Η παραπάνω άσκηση ενδεχομένως να είναι "άσκηση για το σπίτι" από μαθήματα που παρακολουθείς, ιδίως αυτόν τον καιρό που όλοι εργαζόμαστε διαδικτυακά. Υπόψη το mathematica δεν είναι λυσάρι και δεν σκοπεύουμε να παρακάμψουμε τους Δασκάλους σου.

Δείξε μας την δουλειά σου (σε latex) και θα σου δώσουμε υπόδειξη για το παρακάτω.

Σας ευχαριστώ πολύ για την απάντηση.. Θα διαβάσω τους κανονισμούς...και τελικά η άσκηση ήταν αρκετα εύκολη


stamas1
Δημοσιεύσεις: 42
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 19, 2019 5:43 pm

Re: Άσκηση

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stamas1 » Κυρ Απρ 05, 2020 5:23 pm

Πως αποδειξατε οτι το ιδιο ξ ειναι και στις δυο περιπτωσεις?


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4247
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Άσκηση

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Κυρ Απρ 05, 2020 5:24 pm

Ας δούμε το δεύτερο ερώτημα και με το θεώρημα του Rolle
Θέλουμε να δείξουμε ότι υπάρχει \displaystyle{x_0} ώστε να ισχύει: \displaystyle{f^{/} (x_0) = - \frac{2}{\xi}}, όπου το \displaystyle{\xi} είναι αυτό του προηγουμένου πρώτου

ερωτήματος, δηλαδή \displaystyle{\xi\in (-3 , -2)} και \displaystyle{f(\xi)=0}.

Θεωρώ την συνάρτηση \displaystyle{g(x)=f^{/}(x) +\frac{2}{\xi}} και στην συνέχεια μια αρχική αυτής, την

\displaystyle{G(x)=f(x)+\frac{2}{\xi}.x}.

Η \displaystyle{G} είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R και επί πλέον παρατηρούμε ότι:

\displaystyle{G(0)=f(0)+0 = 2} και \displaystyle{G(\xi)=f(\xi)+2=0+2=2}. Άρα \displaystyle{G(o)=G(\xi)} και συνεπώς εφαρμόζεται το θεώρημα του Rolle

για την \displaystyle{G} στο \displaystyle{[\xi , 0]}. Άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον \displaystyle{x_0} , τέτοιο ώστε \displaystyle{G^{/}(x_0)=0},

δηλαδή \displaystyle{g(x_0)=0} , ή \displaystyle{f^{/}(x_0)+\frac{2}{\xi}=0} και άρα το ζητούμενο.


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 650
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Άσκηση

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Κυρ Απρ 05, 2020 5:30 pm

stamas1 έγραψε:
Κυρ Απρ 05, 2020 5:23 pm
Πως αποδειξατε οτι το ιδιο ξ ειναι και στις δυο περιπτωσεις?
Σωστή η παρατήρηση. Οπότε δεν χρειάζεται το ΘΕΤ που ανέφερα. Παρατήρησε ότι f(x)+f(-x)=4.


Μπουμπουλής Κώστας
Δημοσιεύσεις: 58
Εγγραφή: Τρί Απρ 26, 2011 1:58 am

Re: Άσκηση

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπουμπουλής Κώστας » Δευ Απρ 06, 2020 12:23 am

Για το 2) ερώτημα:
Θ.Μ.Τ. για την f στο διάστημα \left [ \xi ,-\xi  \right ]


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Bing [Bot] και 1 επισκέπτης