Εφαπτομένη, παραβολή και εύρεση συνάρτησης

Συντονιστές: R BORIS, KAKABASBASILEIOS, Μπάμπης Στεργίου, m.pαpαgrigorakis, Καρδαμίτσης Σπύρος, Πρωτοπαπάς Λευτέρης

Άβαταρ μέλους
polysot
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2575
Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 11:43 pm
Τοποθεσία: Όπου βρω ενδιαφέρουσες προσωπικότητες...
Επικοινωνία:

Εφαπτομένη, παραβολή και εύρεση συνάρτησης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από polysot » Κυρ Δεκ 22, 2019 4:04 pm

Δίνονται τα σημεία P(-a,k), A(a,0), \ a,k\in\mathbb{R}, a\neq 0, a  σταθερό .
[α.] Να βρεθεί η εξίσωση της μεσοκαθέτου (\varepsilon) του ευθυγράμμου τμήματος PA.
[β.] Na βρεθεί η εξίσωση της καμπύλης στην οποία ανήκει το σημείο τομής της (\varepsilon) με την ευθεία y=k.
[γ.] Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα D_f ώστε 0\in D_f και ικανοποιεί τη σχέση:
\displaystyle f^2 (x) -4ax = 0, \forall x\in D_f
[γi]. Να βρεθούν οι ρίζες της εξίσωσης f(x) = 0.
[γii.] Na αποδειχθεί ότι η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα D_f - \{0 \}.
[γiii.] Να βρεθούν οι συναρτήσεις f, οι οποίες ικανοποιούν τις παραπάνω προϋποθέσεις.
[δ.] Να αποδειχθεί ότι η (\varepsilon) εφάπτεται στη γραφική παράσταση της f σε κάποιο σημείο της.


Σωτήρης Δ. Χασάπης

Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu

Λέξεις Κλειδιά:
Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 346
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Εφαπτομένη, παραβολή και εύρεση συνάρτησης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Σάβ Δεκ 28, 2019 9:16 pm

polysot έγραψε:
Κυρ Δεκ 22, 2019 4:04 pm
Δίνονται τα σημεία P(-a,k), A(a,0), \ a,k\in\mathbb{R}, a\neq 0, a  σταθερό .
[α.] Να βρεθεί η εξίσωση της μεσοκαθέτου (\varepsilon) του ευθυγράμμου τμήματος PA.
[β.] Na βρεθεί η εξίσωση της καμπύλης στην οποία ανήκει το σημείο τομής της (\varepsilon) με την ευθεία y=k.
[γ.] Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα D_f ώστε 0\in D_f και ικανοποιεί τη σχέση:
\displaystyle f^2 (x) -4ax = 0, \forall x\in D_f
[γi]. Να βρεθούν οι ρίζες της εξίσωσης f(x) = 0.
[γii.] Na αποδειχθεί ότι η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα D_f - \{0 \}.
[γiii.] Να βρεθούν οι συναρτήσεις f, οι οποίες ικανοποιούν τις παραπάνω προϋποθέσεις.
[δ.] Να αποδειχθεί ότι η (\varepsilon) εφάπτεται στη γραφική παράσταση της f σε κάποιο σημείο της.
Καλησπέρα και χρόνια πολλά :mathexmastree:
Μια προσπάθεια ...
[α] Έστω M(x,y) σημείο της μεσοκαθέτου.
Έχουμε : (MA)=(MB) \Leftrightarrow
\Leftrightarrow \left ( x-a \right )^2+ y^2 =\left ( x+a \right )^2+\left ( y-k \right )^2 \Leftrightarrow
\Leftrightarrow  (\varepsilon):  4ax-2ky+k^2=0.

[β] Αντικαθιστώντας στην  (\varepsilon) όπου y=k και λύνοντας ως προς x έχουμε :x=\dfrac{k^2}{4a}
Άρα η ζητούμενη εξίσωση της καμπύλης είναι : y^2=4ax.
Παρακάτω έχουμε τις δύο γραφικές παραστάσεις.
Εφαπτομένη, παραβολή και εύρεση συνάρτησης 1.png
Εφαπτομένη, παραβολή και εύρεση συνάρτησης 1.png (29.93 KiB) Προβλήθηκε 229 φορές
Γραφική παράσταση 2.png
Γραφική παράσταση 2.png (34.65 KiB) Προβλήθηκε 229 φορές
[γi] Είναι f(x)=0\Leftrightarrow f^2(x)=0\Leftrightarrow 4ax=0\Leftrightarrow x=0, μοναδική λύση.

[γii] Εστω D_f=(b,c)
H f είναι συνεχής στο (b,0) και f(x)\neq 0, \forall x\in(b,0).
Επίσης f είναι συνεχής στο (0,c) και f(x)\neq 0, \forall x\in(0,c).
Άρα η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα D_f - \{0 \}.

[γiii] Είναι f^2 (x) -4ax = 0 \Leftrightarrow f^2 (x) = 4ax
και επειδή η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα D_f - \{0 \}
διακρίνουμε τις εξής περιπρτώσεις :
1) f(x)>0,\,\,\,\,\forall x\in(b,0)\cup (0,c) και f(x)=2\sqrt{ax} .
Γνωρίζουμε από την θεωρία της παραβολής ότι a,x ομόσημοι.
Συνεπώς στις παραπάνω γραφικές παραστάσεις έχουμε τα τμήματα των παραβολών που βρίσκονται πάνω από τον xx' .

2) f(x)>0,\,\,\,\,\forall x\in(b,0) και f(x)<0,\,\,\,\,\forall x\in(0,c)
Άρα f(x)=\left\{\begin{matrix} 2\sqrt{ax} , x<0& \\ -2\sqrt{ax},x>0 & \end{matrix}\right.
Τώρα στις παραπάνω γραφικές παραστάσεις έχουμε το τμήμα της παραβολής που βρίσκεται πάνω από τον xx' στην περίπτωση της παραβολής με a<0 (σχήμα 2) και το τμήματης παραβολής που βρίσκεται κάτω από τον xx' στην περίπτωση της παραβολής με a>0 (σχήμα 1).

3) f(x)<0,\,\,\,\,\forall x\in(b,0) και f(x)>0,\,\,\,\,\forall x\in(0,c)
Άρα f(x)=\left\{\begin{matrix} -2\sqrt{ax} , x<0& \\ 2\sqrt{ax},x>0 & \end{matrix}\right.
Τώρα στις παραπάνω γραφικές παραστάσεις έχουμε το τμήμα της παραβολής που βρίσκεται κάτω από τον xx' στην περίπτωση της παραβολής με a<0 (σχήμα 2) και το τμήματης παραβολής που βρίσκεται πάνω από τον xx' στην περίπτωση της παραβολής με a>0 (σχήμα 1).

4) f(x)<0,\,\,\,\,\forall x\in(b,0)\cup (0,c) και f(x)=2\sqrt{ax} .
Γνωρίζουμε από την θεωρία της παραβολής ότι a,x ομόσημοι.
Συνεπώς στις παραπάνω γραφικές παραστάσεις έχουμε τα τμήματα των παραβολών που βρίσκονται κάτω από τον xx' .

[δ] Προφανές από τις παραπάνω γραφικές παραστάσεις.

Χρόνια πολλά και ευτυχισμένος ο καινούργιος χρόνος.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης