Άσκηση Bolzano με σύνολα τιμών

Συντονιστές: R BORIS, KAKABASBASILEIOS, Μπάμπης Στεργίου, m.pαpαgrigorakis, Καρδαμίτσης Σπύρος, Πρωτοπαπάς Λευτέρης

Άβαταρ μέλους
dijkstra
Δημοσιεύσεις: 27
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 29, 2009 9:44 am

Άσκηση Bolzano με σύνολα τιμών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dijkstra » Κυρ Δεκ 15, 2019 9:22 pm

Καλησπέρα
Μου έτυχε η εξής άσκηση:
Δίνονται δυο συναρτήσεις f, g με πεδίο ορισμού το [0,1]. Το σύνολο τιμών της f είναι υποσύνολο του συνόλου τιμών της g. Να δείξετε ότι οι δυο συναρτήσεις έχουν ένα τουλάχιστον κοινό σημείο.
Καμιά ιδέα.
Σκέφτηκα να πάω με απαγωγή σε άτοπο. Δηλαδή να πω ότι δεν υπάρχει κοινό σημείο άρα η h(x)=f(x)-g(x) θα είναι πάντα θετική ή πάντα αρνητική, δηλαδή η f θα είναι πάντα πάνω από την g ή το αντίστροφο.
Καμιά ιδέα πως μπορεί να προχωρήσει αυτό ή κάτι άλλο?



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3075
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Άσκηση Bolzano με σύνολα τιμών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Δεκ 15, 2019 9:37 pm

dijkstra έγραψε:
Κυρ Δεκ 15, 2019 9:22 pm
Καλησπέρα
Μου έτυχε η εξής άσκηση:
Δίνονται δυο συναρτήσεις f, g με πεδίο ορισμού το [0,1]. Το σύνολο τιμών της f είναι υποσύνολο του συνόλου τιμών της g. Να δείξετε ότι οι δυο συναρτήσεις έχουν ένα τουλάχιστον κοινό σημείο.
Καμιά ιδέα.
Σκέφτηκα να πάω με απαγωγή σε άτοπο. Δηλαδή να πω ότι δεν υπάρχει κοινό σημείο άρα η h(x)=f(x)-g(x) θα είναι πάντα θετική ή πάντα αρνητική, δηλαδή η f θα είναι πάντα πάνω από την g ή το αντίστροφο.
Καμιά ιδέα πως μπορεί να προχωρήσει αυτό ή κάτι άλλο?
Προφανώς έχεις ξεχάσει το ότι και οι δύο συναρτήσεις είναι συνεχείς.


Εχουμε g([0,1])=[a,b],f([0,1])=[c,d]
με
,a\leq c\leq d\leq b.
Αν
g(x_{1})=a,g(x_{2})=b
τότε για την

h(x)=f(x)-g(x) είναι

h(x_{2})\leq 0,h(x_{1})\geq 0

και μετά Bolzano


Άβαταρ μέλους
dijkstra
Δημοσιεύσεις: 27
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 29, 2009 9:44 am

Re: Άσκηση Bolzano με σύνολα τιμών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dijkstra » Κυρ Δεκ 15, 2019 9:43 pm

Έχεις δίκιο. Σε ευχαριστώ για την γρήγορη απάντηση


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12249
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Άσκηση Bolzano με σύνολα τιμών

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Δεκ 15, 2019 10:24 pm

dijkstra έγραψε:
Κυρ Δεκ 15, 2019 9:22 pm

Σκέφτηκα να πάω με απαγωγή σε άτοπο. Δηλαδή να πω ότι δεν υπάρχει κοινό σημείο άρα η h(x)=f(x)-g(x) θα είναι πάντα θετική ή πάντα αρνητική, δηλαδή η f θα είναι πάντα πάνω από την g ή το αντίστροφο.
Καμιά ιδέα πως μπορεί να προχωρήσει αυτό ή κάτι άλλο?
Ας δούμε και έναν τρόπο πώς μπορεί να προχωρήσει αυτό.

Έστω ότι για κάθε x είναι f(x)-g(x) >0 (η περίπτωση του <0 όμοια).

Έστω g(x_o) η μέγιστη τιμή της g. Είναι τότε f(x_o) > g(x_o).

Τι μπορείς να πεις για την υπόθεση ότι το σύνολο τιμών της f είναι υποσύνολο του συνόλου τιμών της  g;

Συνέχισε. Περιμένουμε εδώ να ολοκληρώσεις το βήμα αυτό.


Άβαταρ μέλους
dijkstra
Δημοσιεύσεις: 27
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 29, 2009 9:44 am

Re: Άσκηση Bolzano με σύνολα τιμών

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dijkstra » Κυρ Δεκ 15, 2019 11:16 pm

Αφού το σύνολο τιμών της f είναι υποσύνολο του συνόλου τιμών της g τότε
f(x) \leq g(x_0)  \forall x
άρα καταλήγουμε σε άτοπο


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12249
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Άσκηση Bolzano με σύνολα τιμών

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Δεκ 15, 2019 11:31 pm

:10sta10:


Άβαταρ μέλους
dijkstra
Δημοσιεύσεις: 27
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 29, 2009 9:44 am

Re: Άσκηση Bolzano με σύνολα τιμών

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dijkstra » Δευ Δεκ 16, 2019 12:05 am

Σας ευχαριστώ πολύ για τον χρόνο σας.
Πραγματικά το feedback που δώσατε ήταν το minimum δυνατό ώστε να μου αφήσετε περιθώριο να ολοκληρώσω την απόδειξη.
Αυτό :10sta10: μάλλον πάει σε εσάς


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες