Χωρίς DLH ή χρήση Παραγώγων

JimNt. · #1

Να βρεθεί το όριο $\displaystyle \lim_{x \to 0^{+}}x\ln{x}$ .

Christos.N · #2

και χωρίς θεωρήματα ή χρήση ανισώσεων που εξάγονται από την έννοια της παραγώγου;

Επίσης κάνοντας χρήση του παραβατικού συμπεράσματος που εξάγεται απο την Β' Λυκείου όπως εδώ;

JimNt. · #3

Christos.N έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 26, 2019 2:50 pm
και χωρίς θεωρήματα ή χρήση ανισώσεων που εξάγονται από την έννοια της παραγώγου;

Επίσης κάνοντας χρήση του παραβατικού συμπεράσματος που εξάγεται απο την Β' Λυκείου όπως εδώ;

Ναι. Από ότι κατάλαβα δόθηκε ως άσκηση σε μαθητές που δεν είχαν ακόμη μπει στην παραγώγιση.

Μάρκος Βασίλης · #4

Βγαίνει εύκολα αν από κάπου ξέρουμε ότι το όριο υπάρχει - από εδώ δεν προκύπτει, πάντως.

Έστω, λοιπόν, ότι το όριο υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός, δηλαδή έστω $\ell\in\mathbb{R}$ με:

$\displaystyle{\lim_{x\to0^+}x\ln x=\ell.}$

Τότε:

$\displaystyle{\ell=\lim_{x\to0^+}x\ln x\overset{y^2=x}{=}\lim_{y\to0^+}y^2\ln y^2=\lim_{y\to0^+}2y^2\ln y=\lim_{y\to0^+}(2y)\lim_{y\to0^+}y\ln y=0\cdot\ell=0.}$

Βασικά, τώρα που το ξαναβλέπω, αρκεί να φράξουμε κάπως την $x\ln x$ σε ένα διάστημα (0,a)

.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

JimNt. έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 26, 2019 1:17 pm
Να βρεθεί το όριο $\displaystyle \lim_{x \to 0^{+}}x\ln{x}$ .

Μπορώ να φανταστώ ότι βγαίνει με χρήση μιας εκθετικής ανισότητας.
Ας δεχτούμε ότι έχουμε
$x>1\Rightarrow 10^{x}> x$
(το

οπως θα δούμε από την απόδειξη δεν παίζει κανένα ρόλο)
Βγάζουμε ότι
$\displaystyle x> 1\Rightarrow \ln x< (\ln 10) x$
Κάνουμε το ακροβατικό(πάρα παρα πολύ χρήσιμο)

$\displaystyle \ln x=\ln (\sqrt{x})^{2}=2 \ln (\sqrt{x})< (2\ln 10)\sqrt{x}$

Είναι
$\displaystyle \lim_{x \to 0^{+}}x\ln{x}=\lim_{t \to \infty }\frac{1}{t}\ln{\frac{1}{t}}=\lim_{t \to \infty }-\frac{1}{t}\ln{t}$

Αλλά για t>1

είναι $\displaystyle 0< \frac{\ln t}{t}< \frac{2\ln 10}{\sqrt{t}}$
Από κριτήριο παρεμβολής παίρνουμε
$\displaystyle \lim_{t \to \infty }\frac{1}{t}\ln{t}=0$
και τελειώσαμε.

Για την ανισότητα αρκεί να δείξουμε ότι για $\displaystyle n \geq 1\Rightarrow 10^{n}> n+1$
(επαγωγή ανάπτυγμα κλπ)
Τότε για x>1

είναι $\displaystyle 10^{x}\geq 10^{[x]}\geq [x]+1> x$
αντε και την ανισότητα με φυσικούς.
$\displaystyle 10^{n}-1=9(10^{n-1}+10^{n-2}+....+1)> 9n> n+1$

Christos.N · #6

Σταύρο με την λογική ότι όλα όπως φανερώνονται (δηλαδή έχουν τυπογραφεί) σε σχολικό βιβλίο ισχύουν, τότε αυτό που γράφεις,

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 26, 2019 9:48 pm
Ας δεχτούμε ότι έχουμε
$x>1\Rightarrow 10^{x}> x$

Ισχύει και με το παραπάνω καθώς στην σελίδα 82 της έκδοσης που έχω από το σχολικό της Άλγεβρας Β' Λυκείου στο γραφείο μου βλέπω ότι:

: DeepinScreenshot_select-area_20191127003047.png (47.2 KiB) Προβλήθηκε 1428 φορές

συνεπώς όλα τα παρακάτω πλεονάζουν

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 26, 2019 9:48 pm

Για την ανισότητα αρκεί να δείξουμε ότι για $\displaystyle n \geq 1\Rightarrow 10^{n}> n+1$
(επαγωγή ανάπτυγμα κλπ)
Τότε για είναι $\displaystyle 10^{x}\geq 10^{[x]}\geq [x]+1> x$
αντε και την ανισότητα με φυσικούς.
$\displaystyle 10^{n}-1=9(10^{n-1}+10^{n-2}+....+1)> 9n> n+1$

Elementary my dear Watson.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

Christos.N έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 27, 2019 12:38 am
Σταύρο με την λογική ότι όλα όπως φανερώνονται (δηλαδή έχουν τυπογραφεί) σε σχολικό βιβλίο ισχύουν, τότε αυτό που γράφεις,
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 26, 2019 9:48 pm
Ας δεχτούμε ότι έχουμε
$x>1\Rightarrow 10^{x}> x$

Ισχύει και με το παραπάνω καθώς στην σελίδα 82 της έκδοσης που έχω από το σχολικό της Άλγεβρας Β' Λυκείου στο γραφείο μου βλέπω ότι:
DeepinScreenshot_select-area_20191127003047.png

συνεπώς όλα τα παρακάτω πλεονάζουν

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 26, 2019 9:48 pm

Για την ανισότητα αρκεί να δείξουμε ότι για $\displaystyle n \geq 1\Rightarrow 10^{n}> n+1$
(επαγωγή ανάπτυγμα κλπ)
Τότε για είναι $\displaystyle 10^{x}\geq 10^{[x]}\geq [x]+1> x$
αντε και την ανισότητα με φυσικούς.
$\displaystyle 10^{n}-1=9(10^{n-1}+10^{n-2}+....+1)> 9n> n+1$
Elementary my dear Watson.

Christos.N έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 27, 2019 12:38 am
Σταύρο με την λογική ότι όλα όπως φανερώνονται (δηλαδή έχουν τυπογραφεί) σε σχολικό βιβλίο ισχύουν.

Πολύ γενικό.Και ο καθένας το ερμηνεύει όπως θέλει.
Δεν γράφει το σχολικό ότι
$\ln x<x ,x>0$
πουθενά.
Βέβαια προκύπτει από την γραφική παράσταση.
Εχουμε λοιπόν να δούμε ότι αν κάτι προκύπτει από γραφική παράσταση σχολικού
μπορούμε να το θεωρούμε δεδομένο.
Η απάντηση η δική μου είναι όχι.
Ο λόγος είναι ότι το τι βλέπει ο καθένας σε γραφική παράσταση είναι υποκειμενικό.
Και σε κάθε περίπτωση μπορεί να προκύψουν πράγματα που δεν ισχύουν.

Καλώς λοιπόν έβαλα και την απόδειξη τις ανισότητας για να είναι πλήρης η απάντηση.

Για να γίνω πιο σαφής. Η γραφική παράσταση που επικαλείσαι είναι για πεπερασμένες τιμές(φραγμένες τιμές).
Δεν μου λέει τίποτα αν πάω ''στου διαόλου την μάνα''.
Καμία συνάρτηση ορισμένη στο $\mathbb{R}$ δεν μπορούμε να την ζωγραφίσουμε.
Να φανταστούμε μπορούμε.

Μάρκος Βασίλης · #8

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 28, 2019 11:59 pm
Πολύ γενικό.Και ο καθένας το ερμηνεύει όπως θέλει.
Δεν γράφει το σχολικό ότι
$\ln x<x ,x>0$
πουθενά.
Βέβαια προκύπτει από την γραφική παράσταση.
Εχουμε λοιπόν να δούμε ότι αν κάτι προκύπτει από γραφική παράσταση σχολικού
μπορούμε να το θεωρούμε δεδομένο.
Η απάντηση η δική μου είναι όχι.
Ο λόγος είναι ότι το τι βλέπει ο καθένας σε γραφική παράσταση είναι υποκειμενικό.
Και σε κάθε περίπτωση μπορεί να προκύψουν πράγματα που δεν ισχύουν.

Καλώς λοιπόν έβαλα και την απόδειξη τις ανισότητας για να είναι πλήρης η απάντηση.

Για να γίνω πιο σαφής. Η γραφική παράσταση που επικαλείσαι είναι για πεπερασμένες τιμές(φραγμένες τιμές).
Δεν μου λέει τίποτα αν πάω ''στου διαόλου την μάνα''.
Καμία συνάρτηση ορισμένη στο $\mathbb{R}$ δεν μπορούμε να την ζωγραφίσουμε.
Να φανταστούμε μπορούμε.

Νομίζω πάντως ότι δεν είναι αβίαστο συμπέρασμα, δεδομένου ότι οι γραφικές παραστάσεις που δε ζουν σε ένα ορθογώνιο ερμηνεύονται, εν γένει, με τον απλούστερο δυνατό τρόπο - οπότε ο λογάριθμος και η εκθετική «υπονοείται» από το σχήμα ότι διατηρούν την ίδια κυρτότητα κ.λπ.. Έτσι, τουλάχιστον, το βλέπω εγώ σε σχολικό επίπεδο.

Χωρίς DLH ή χρήση Παραγώγων

Χωρίς DLH ή χρήση Παραγώγων

Re: Χωρίς DLH ή χρήση Παραγώγων

Re: Χωρίς DLH ή χρήση Παραγώγων

Re: Χωρίς DLH ή χρήση Παραγώγων

Re: Χωρίς DLH ή χρήση Παραγώγων

Re: Χωρίς DLH ή χρήση Παραγώγων

Re: Χωρίς DLH ή χρήση Παραγώγων

Re: Χωρίς DLH ή χρήση Παραγώγων

Μέλη σε σύνδεση