ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ

Συντονιστές: Μπάμπης Στεργίου, m.pαpαgrigorakis, Καρδαμίτσης Σπύρος, Πρωτοπαπάς Λευτέρης, R BORIS, KAKABASBASILEIOS

Aladdin
Δημοσιεύσεις: 165
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 05, 2010 2:25 pm

ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Aladdin » Πέμ Ιαν 24, 2019 9:50 am

Έστω \displaystyle f:R \to R μια συνάρτηση για την οποία ισχύει \displaystyle {f^3}(x) + f(x) + \,1\, = \,x,\,x \in R.
Να βρείτε το σύνολο τιμών της \displaystyle f.

H απορία μου είναι η εξής :
Μπορούμε να θέσουμε συνάρτηση \displaystyle g(x) = {x^3} + x + 1,\,x \in R , να βρούμε \displaystyle g(R) = R και μετά με
\displaystyle g(f(x)) = x,x \in R \Leftrightarrow f(x) = {g^{ - 1}}(x),x \in R να γράψουμε \displaystyle f = {g^{ - 1}},\,f(R) = {g^{ - 1}}(R) = Dg = R;;



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2621
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Ιαν 24, 2019 11:10 am

Aladdin έγραψε:
Πέμ Ιαν 24, 2019 9:50 am
Έστω \displaystyle f:R \to R μια συνάρτηση για την οποία ισχύει \displaystyle {f^3}(x) + f(x) + \,1\, = \,x,\,x \in R.
Να βρείτε το σύνολο τιμών της \displaystyle f.

H απορία μου είναι η εξής :
Μπορούμε να θέσουμε συνάρτηση \displaystyle g(x) = {x^3} + x + 1,\,x \in R , να βρούμε \displaystyle g(R) = R και μετά με
\displaystyle g(f(x)) = x,x \in R \Leftrightarrow f(x) = {g^{ - 1}}(x),x \in R να γράψουμε \displaystyle f = {g^{ - 1}},\,f(R) = {g^{ - 1}}(R) = Dg = R;;


Σωστό είναι αλλά θέλει λίγη προσοχή στην δικαιολόγηση.


το

\displaystyle g(f(x)) = x,x \in R \Leftrightarrow f(x) = {g^{ - 1}}(x),x \in R
δεν είναι σωστό γενικά.

Για παράδειγμα αν

 f(x)=e^x

και
g(x)=\ln x,x> 0,g(x)=x^{2},x\leq 0

τότε

 \displaystyle g(f(x)) = x,x \in R

ενώ η g^{ - 1} ούτε καν υπάρχει


Aladdin
Δημοσιεύσεις: 165
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 05, 2010 2:25 pm

Re: ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Aladdin » Πέμ Ιαν 24, 2019 11:30 am

Είναι σωστό να θέτω \displaystyle g(x) = {x^3} + x + 1 με \displaystyle x \in R , ενώ δεν ξέρουμε τί τιμές παίρνουν τα \displaystyle f(x) ;


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2621
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Ιαν 24, 2019 11:47 am

Aladdin έγραψε:
Πέμ Ιαν 24, 2019 11:30 am
Είναι σωστό να θέτω \displaystyle g(x) = {x^3} + x + 1 με \displaystyle x \in R , ενώ δεν ξέρουμε τί τιμές παίρνουν τα \displaystyle f(x) ;
Φυσικά.Οτι θες θέτεις.

Η δικαιολόγηση είναι ότι η g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}

είναι 1-1 και g(\mathbb{R})=\mathbb{R}
(η απόδειξη τους είναι εύκολη)

οπότε υπάρχει η

g^{-1}:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},g(\mathbb{R})=\mathbb{R}

μετά εύκολα αποδεικνύει ότι f=g^{-1}

γιατί x=g(f(x))=g(g^{-1}(x))

και η g είναι 1-1


kostasrmd
Δημοσιεύσεις: 24
Εγγραφή: Παρ Δεκ 02, 2016 1:02 pm

Re: ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kostasrmd » Πέμ Ιαν 24, 2019 1:44 pm

Aladdin έγραψε:
Πέμ Ιαν 24, 2019 9:50 am
Έστω \displaystyle f:R \to R μια συνάρτηση για την οποία ισχύει \displaystyle {f^3}(x) + f(x) + \,1\, = \,x,\,x \in R.
Να βρείτε το σύνολο τιμών της \displaystyle f.

H απορία μου είναι η εξής :
Μπορούμε να θέσουμε συνάρτηση \displaystyle g(x) = {x^3} + x + 1,\,x \in R , να βρούμε \displaystyle g(R) = R και μετά με
\displaystyle g(f(x)) = x,x \in R \Leftrightarrow f(x) = {g^{ - 1}}(x),x \in R να γράψουμε \displaystyle f = {g^{ - 1}},\,f(R) = {g^{ - 1}}(R) = Dg = R;;
Καλησπέρα σας, θα ήθελα να μου πείτε αν η παρακάτω λύση είναι σωστή:
f(x) + (f(x))^3=x-1. Προφανως Σ.Τ της x-1 ειναι το R αρα και f(x)+((f(x))^3 ανηκει στο R.
Εστω τωρα οτι η f(x) εχει μεγιστο τον αριθμο a, δηλαδη f(x)<a για καθε x. Θα ισχυει(f(x))^3<a^3
και με προσθεση κατα μελη  f(x)+((f(x))^3<a^3+a δηλαδη x-1<a^3+a για καθε x. Ομως η x-1 γινεται οσοδηποτε μεγαλη στο απειρο και a^3+a πεπερασμενος αριθμος, αρα ατοπο. Ομοιως και για την περιπτωση ελαχιστου.

Πιστευω πως θα επρεπε να γνωριζουμε την συνεχεια για μια τετοια λυση, σωστα;;


stranger
Δημοσιεύσεις: 47
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: United States of America

Re: ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Κυρ Μαρ 17, 2019 2:30 am

Βεβαίως και χρειάζεται η συνέχεια της f για να πεις ότι το σύνολο τιμών της είναι η πραγματική ευθεία.Αν έχουμε δεδομένη τη συνέχεια τότε η απόδειξη σου είναι σωστή και δείχνει το ζητούμενο.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 512
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Κυρ Μαρ 17, 2019 3:07 am

Η συνέχεια μπορεί να αποδειχθεί.

Για κάθε x,y \in R με x\neq y έχουμε \displaystyle \left |g(x)-g(y) \right |=(3\xi ^2+1)\left | x-y \right |\geq \left | x-y \right |.

Η προηγούμενη ισχύει και για x=y. Άρα \displaystyle \left |f^{-1}(x)-f^{-1}(y) \right |\geq \left | x-y \right |\Rightarrow \left|f(x)-f(y) \right |\leq \left | x-y \right |.

Από την τελευταία εύκολα βλέπουμε ότι η f είναι συνεχής.


sokpanvas
Δημοσιεύσεις: 45
Εγγραφή: Δευ Ιούλ 31, 2017 1:53 pm

Re: ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sokpanvas » Κυρ Μαρ 17, 2019 8:51 pm

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Κυρ Μαρ 17, 2019 3:07 am
Η συνέχεια μπορεί να αποδειχθεί.

Για κάθε x,y \in R με x\neq y έχουμε \displaystyle \left |g(x)-g(y) \right |=(3\xi ^2+1)\left | x-y \right |\geq \left | x-y \right |.

Η προηγούμενη ισχύει και για x=y. Άρα \displaystyle \left |f^{-1}(x)-f^{-1}(y) \right |\geq \left | x-y \right |\Rightarrow \left|f(x)-f(y) \right |\leq \left | x-y \right |.

Από την τελευταία εύκολα βλέπουμε ότι η f είναι συνεχής.
Με τι ισουται το \xi;


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 512
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Κυρ Μαρ 17, 2019 9:18 pm

sokpanvas έγραψε:
Κυρ Μαρ 17, 2019 8:51 pm
Με τι ισουται το \xi;
Για δοσμένα x,y με x\neq y από το Θεώρημα Μέσης Τιμής παίρνουμε

\displaystyle \left | \frac{g(x)-g(y)}{x-y} \right |=\left | {g}'(\xi ) \right |\Rightarrow \left | g(x)-g(y)\right |=(3\xi ^2+1)\left | x-y \right |

για κάποιο \xi μεταξύ των x,y. Το \xi, εν γένει όχι μοναδικό, είναι αυτό που ικανοποιεί την

\displaystyle \frac{g(x)-g(y)}{x-y} =3\xi ^2+1 όπου g(x)=x^3+x+1,x \in R.


stranger
Δημοσιεύσεις: 47
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: United States of America

Re: ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Κυρ Μαρ 17, 2019 9:21 pm

Το \xi προκύπτει απο το ΘΜΤ της g(x)=x^3+x+1 στο διάστημα [x,y].
Είναι σωστή η απόδειξή σου. Άρα έχουμε ότι η f είναι συνεχής που σημαίνει ότι το σύνολο τιμών της είναι η πραγματική ευθεία.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1810
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Δευ Μαρ 18, 2019 8:17 pm

Aladdin έγραψε:
Πέμ Ιαν 24, 2019 9:50 am
Έστω \displaystyle f:R \to R μια συνάρτηση για την οποία ισχύει \displaystyle {f^3}(x) + f(x) + \,1\, = \,x,\,x \in R.
Να βρείτε το σύνολο τιμών της \displaystyle f.

Ας το δούμε κι αλλιώς. Θα δείξουμε ότι για κάθε πραγματικό y υπάρχει x\in R με f(x)=y, οπότε σύνολο τιμών είναι το  R.

Πραγματικά, θεωρούμε το x=y^3+y+1

Από την υπόθεση \displaystyle { x=f^3}(x) + f(x) + \,1, οπότε f^3}(x) + f(x) + \,1=y^3+y+1. Από εδώ παραγοντοποιούμε κ.λπ.:

[f(x)-y][f^2(x)+yf(x)+y^2+1]=0, και, επειδή η δεύτερη αγκύλη είναι θετική, προκύπτει f(x)=y


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης