Σελίδα 1 από 1

Από ΨΕΒ 11ο Διαγώνισμα.

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Απρ 28, 2018 1:35 pm
από saranick
Από ΨΕΒ 11ο Διαγώνισμα.
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f:R\rightarrow R, με
με f(x)=e^x-\int_{0}^{1}e^{1-x}f(x)dx , για κάθε x \in R.
1. Να αποδείξετε ότι ο τύπος της f είναι f(x)=e^x-1, x\in R..

Θεωρώ οτι η σχέση με το ολοκλήρωμα δεν είναι σωστά δοσμένη.
Θα ήθελα την άποψή σας και τη λύση της.

Re: Από ΨΕΒ 11ο Διαγώνισμα.

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Απρ 28, 2018 2:13 pm
από george visvikis
saranick έγραψε:
Σάβ Απρ 28, 2018 1:35 pm
Από ΨΕΒ 11ο Διαγώνισμα.
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f:R\rightarrow R, με
με f(x)=e^x-\int_{0}^{1}e^{1-x}f(x)dx , για κάθε x \in R.
1. Να αποδείξετε ότι ο τύπος της f είναι f(x)=e^x-1, x\in R..

Θεωρώ οτι η σχέση με το ολοκλήρωμα δεν είναι σωστά δοσμένη.
Θα ήθελα την άποψή σας και τη λύση της.
Θέτω \displaystyle \int_0^1 {{e^{1 - x}}f(x)dx = a \in \mathbb{R} \Rightarrow f(x) = {e^x}}  - a και

\displaystyle a = \int_0^1 {{e^{1 - x}}} ({e^x} - a)dx = \left[ {ex + a{e^{1 - x}}} \right]_0^1 = e + a - ae \Leftrightarrow \boxed{a=1} , απ' όπου προκύπτει το ζητούμενο.

Re: Από ΨΕΒ 11ο Διαγώνισμα.

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Απρ 28, 2018 2:23 pm
από exdx
saranick έγραψε:
Σάβ Απρ 28, 2018 1:35 pm

Θεωρώ οτι η σχέση με το ολοκλήρωμα δεν είναι σωστά δοσμένη.
Θα ήθελα την άποψή σας και τη λύση της.
Εννοείτε ότι θα έπρεπε να δίνεται ως \displaystyle f(x) = {e^x} - \int_0^1 {{e^{1 - t}}} f(t)dt ;

Re: Από ΨΕΒ 11ο Διαγώνισμα.

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Απρ 28, 2018 2:35 pm
από saranick
Αυτό πιστεύω και εγώ.
Νομίζω οτι δεν στέκει αλλιώς η ασκηση.

Re: Από ΨΕΒ 11ο Διαγώνισμα.

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Απρ 28, 2018 3:46 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
exdx έγραψε:
Σάβ Απρ 28, 2018 2:23 pm
saranick έγραψε:
Σάβ Απρ 28, 2018 1:35 pm

Θεωρώ οτι η σχέση με το ολοκλήρωμα δεν είναι σωστά δοσμένη.
Θα ήθελα την άποψή σας και τη λύση της.
Εννοείτε ότι θα έπρεπε να δίνεται ως \displaystyle f(x) = {e^x} - \int_0^1 {{e^{1 - t}}} f(t)dt ;
Όχι. Μια χαρά είναι διατυπωμένη η άσκηση.
Τουλάχιστον για κανονικά Μαθηματικά.

Re: Από ΨΕΒ 11ο Διαγώνισμα.

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Απρ 28, 2018 4:53 pm
από nikkru
saranick έγραψε:
Σάβ Απρ 28, 2018 1:35 pm
Από ΨΕΒ 11ο Διαγώνισμα.
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f:R\rightarrow R, με
με f(x)=e^x-\int_{0}^{1}e^{1-x}f(x)dx , για κάθε x \in R.
1. Να αποδείξετε ότι ο τύπος της f είναι f(x)=e^x-1, x\in R..

Θεωρώ οτι η σχέση με το ολοκλήρωμα δεν είναι σωστά δοσμένη.
Θα ήθελα την άποψή σας και τη λύση της.
Η μεταβλητή ολοκλήρωσης δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα του ολοκληρώματος,

οπότε είτε γράψουμε \int_{0}^{1}e^{1-x}f(x)dx είτε γράψουμε \int_{0}^{1}e^{1-t}f(t)dt είναι το ίδιο πράγμα.

Εξάλλου στη συγκεκριμένη άσκηση δεν μπερδεύονται η μεταβλητή της f (στο αριστερό μέλος της ισότητας) με την μεταβλητή ολοκλήρωσης.

Η λύση της άσκησης είναι βέβαια αυτή που δίνει ο Γιώργος παραπάνω.

Re: Από ΨΕΒ 11ο Διαγώνισμα.

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Απρ 28, 2018 5:49 pm
από saranick
Πράγματι η μεταβλητή στο ολοκληρωμα είναι ναι μεν ελεύθερη, αλλά δεν εξαρτάται από την δική μας επιλογή. Πόσο φανερό είναι όμως στα μάτια των μαθητών; Είναι κάτι που πρέπει να θεωρείται δεδομένο ότι θα το καταλάβουν οι μαθητές;

Re: Από ΨΕΒ 11ο Διαγώνισμα.

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Απρ 28, 2018 5:52 pm
από saranick
Δηλαδή αν αυτό το θέμα έμπαινε σε πανελλήνιες εξετάσεις θα θεωρούσαμε ότι είναι σωστά διατυπωμένο;

Re: Από ΨΕΒ 11ο Διαγώνισμα.

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Απρ 28, 2018 6:52 pm
από george visvikis
saranick έγραψε:
Σάβ Απρ 28, 2018 5:49 pm
Πράγματι η μεταβλητή στο ολοκληρωμα είναι ναι μεν ελεύθερη, αλλά δεν εξαρτάται από την δική μας επιλογή. Πόσο φανερό είναι όμως στα μάτια των μαθητών; Είναι κάτι που πρέπει να θεωρείται δεδομένο ότι θα το καταλάβουν οι μαθητές;
Γιατί να μην το καταλάβουν οι μαθητές; Αντιγράφω από το σχολικό βιβλίο:

Στην έκφραση \displaystyle \int_\alpha ^\beta  {f(x)dx} το γράμμα x είναι μια μεταβλητή και μπορεί να αντικατασταθεί με οποιοδήποτε άλλο γράμμα. Έτσι, για

παράδειγμα, οι εκφράσεις \displaystyle \int_\alpha ^\beta  {f(x)dx}, \displaystyle \int_\alpha ^\beta  {f(t)dt} συμβολίζουν το ίδιο ορισμένο ολοκλήρωμα και είναι πραγματικός αριθμός.

Re: Από ΨΕΒ 11ο Διαγώνισμα.

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Απρ 29, 2018 12:02 am
από exdx
Η συζήτηση έχει ξαναγίνει , όμως δεν τη βρίσκω .
Το συμπέρασμα , με το οποίο συμφωνώ , ήταν όπως η δημοσίευση του Γιώργου ακριβώς πάνω .

Re: Από ΨΕΒ 11ο Διαγώνισμα.

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Απρ 29, 2018 5:28 am
από saranick
Ευχαριστώ όλους για τις απαντήσεις σας.
Πιστεύω ομως οτι Παρόλο που το σχολικό βιβλίο αναφέρει καθαρά τη δυνατότητα αλλαγής της μεταβλητής, οι περισσότεροι μαθητές δεν θα μπορούσαν να διακρίνουν την τοπικότητα της μεταβλητής χ.