Ερώτημα προσομοίωσης Γ Θέματος

gGa · #1

Περιδιαβαίνοντας το βιβλίο του Γιώργου Μιχαηλίδη, στις ασκήσεις προσομοίωσης του Α' τόμου βρήκα ως αρχικό υποερώτημα το παρακάτω:

Δίνεται οι συναρτήσεις $f, g:\Re \rightarrow \Re }$ για τις οποίες ισχύει :
$f(x)=\mathop{ \lim} \limits_{y\to +\infty}\frac{g(xy)}{y^2}$ , για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .
Να αποδείξετε ότι $f(x)=f(1)x^2, \: x\in \mathbb{R}$

Οποιαδήποτε ιδέα καλοδεχούμενη.

M.S.Vovos · #2

Αρχικά να πω ότι η άποψη μου για την χρησιμότητα αυτών των κατασκευών στην διδακτική και κατ' επέκταση στις εξετάσεις είναι μάλλον αρνητική. Πόσο μάλλον για θέμα Γ. Δηλαδή τι θα δούμε μετά στο θέμα Δ;

Στο θέμα τώρα:

Διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις:

Αν τότε έχουμε $\displaystyle{f(0)=\lim_{y\rightarrow \infty }\frac{g(0)}{y^{2}}=g(0)\lim_{y\rightarrow \infty }\frac{1}{y^{2}}=g(0)\cdot 0=0}$ .

Αν τότε θέτουμε και άρα $\displaystyle{f(x)=\lim_{t\rightarrow \infty }\frac{g(t)}{\displaystyle \frac{t^{2}}{x^{2}}}=\lim_{t\rightarrow \infty }x^{2}\frac{g(t)}{t^{2}}=x^{2}\lim_{t\rightarrow \infty }\frac{g(t)}{t^{2}}}$ . Αν τώρα στη δοθείσα σχέση βάλουμε όπου έχουμε ότι $\displaystyle{f(1)=\lim_{y\rightarrow \infty }\frac{g(y)}{y^{2}}}$ . Συνδυάζοντας τις δύο αυτές σχέσεις το αποτέλεσμα έπεται.

Αν δουλεύουμε εντελώς όμοια.

Φιλικά,
Μάριος

mikemoke · #3

M.S.Vovos έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 10, 2018 4:37 pm
Αρχικά να πω ότι η άποψη μου για την χρησιμότητα αυτών των κατασκευών στην διδακτική και κατ' επέκταση στις εξετάσεις είναι μάλλον αρνητική. Πόσο μάλλον για θέμα Γ. Δηλαδή τι θα δούμε μετά στο θέμα Δ;

Στο θέμα τώρα:

Διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις:

Αν τότε έχουμε $\displaystyle{f(0)=\lim_{y\rightarrow \infty }\frac{g(0)}{y^{2}}=g(0)\lim_{y\rightarrow \infty }\frac{1}{y^{2}}=g(0)\cdot 0=0}$ .

Αν τότε θέτουμε και άρα $\displaystyle{f(x)=\lim_{t\rightarrow \infty }\frac{g(t)}{\displaystyle \frac{t^{2}}{x^{2}}}=\lim_{t\rightarrow \infty }x^{2}\frac{g(t)}{t^{2}}=x^{2}\lim_{t\rightarrow \infty }\frac{g(t)}{t^{2}}}$ . Αν τώρα στη δοθείσα σχέση βάλουμε όπου έχουμε ότι $\displaystyle{f(1)=\lim_{y\rightarrow \infty }\frac{g(y)}{y^{2}}}$ . Συνδυάζοντας τις δύο αυτές σχέσεις το αποτέλεσμα έπεται.

Αν δουλεύουμε εντελώς όμοια.
Φιλικά,
Μάριος

Για $x<0 \Rightarrow t\rightarrow -\infty$
Άρα $f(x)=\lim_{t\rightarrow -\infty} \frac{g(t)}{t^2} x^2=f(-1)x^2$
$f(x)=\lim_{t\rightarrow -\infty} \frac{g(t)}{t^2} x^2=f(-1)x^2$
Γιατί f(1)=f(-1)

;

Ερώτημα προσομοίωσης Γ Θέματος

Ερώτημα προσομοίωσης Γ Θέματος

Re: Ερώτημα προσομοίωσης Γ Θέματος

Re: Ερώτημα προσομοίωσης Γ Θέματος

Μέλη σε σύνδεση