Διευκρινήσεις στην κυρτότητα

[Γιώργος Τελώνης]

Καλησπέρα και από εμένα. Είναι η πρώτη μου δημοσίευση στο site και γίνεται με αφορμή δυο απορίες που έχω πάνω στην κυρτότητα.
Διαβάζοντας αντίστοιχα θέματα στο site, κατάλαβα ότι ο ορισμός του σχολικού βιβλίου της γ λυκείου είναι ελλιπής/παρωχημένος/λάθος.

1η απορία: Έχει νόημα να εξετάσουμε μία ευθεία ως προς την κυρτότητα; Βάσει του σχολικού βιβλίου, όχι. Αλλά ψάχνοντας στο ίντερνετ, βρήκα σημειώσεις πάνω στην κυρτότητα από τον Λυγάτσικα Ζήνων, ο οποίος ξεκάθαρα αναφέρει "κάθε ευθεία είναι και κυρτή και κοίλη συνάρτηση". Θα επισηνάψω το αρχείο για του λόγου το αληθές, είναι η 5η παρατήρηση στη δεύτερη σελίδα.

2η απορία: Με την - μάλλον περιορισμένη - μαθηματική αντίληψη που έχω στα 18 μου, πιστεύω ότι μία συνάρτηση δεν χρειάζεται να είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ για να είναι π.χ. κυρτή. Μπορεί κάλλιστα να παρουσιάζει ασυνέχεια πρώτου βαθμού σε άκρο. Είναι σωστό ή λάθος αυτό που λέω; Και αν είναι σωστό, είναι εύκολο να αφήσει κάποιος μια τέτοια γραφική παράσταση; Ή ακόμα καλύτερα, μία τέτοια συνάρτηση;

Για παράδειγμα, εγώ σκέφτομαι την

f(x)= -(ρίζα χ) για χ<0
1 για χ=0

(συγγνώμη αλλά δεν έχω πρόγραμμα συγγραφής μαθηματικών)

Ευχαριστώ πολύ

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

Η Convex Analysis δηλαδή η Κυρτή Ανάλυση είναι ένας κλάδος των Μαθηματικών.
Ασχολείται με τα κυρτά σώματα οπότε μπαίνουν από το παράθυρο και οι κυρτές συναρτήσεις.

π.χ η είναι κυρτή ( διάστημα) αν και μόνο αν το

είναι κυρτό υποσύνολο του

Κυρτό σύνολο γενικά είναι ένα σύνολο που το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο σημεία του
περιέχεται σε αυτό.
Την πρώτη σου απορία την έχεις λύσει μόνο σου .
Είναι η δεύτερη γραμμή της δημοσιευσής σου.

Για την δεύτερη απορία .
Η διαίσθηση σου δεν σε ξεγέλασε.

Η

με

και

είναι κυρτή αλλά όχι συνεχής στα

https://en.wikipedia.org/wiki/Convex_function

[Γιώργος Τελώνης]

Ευχαριστώ πάρα πολύ, θα κοιτάξω και το link της wikipedia γιατί φαίνεται πολύ ενδιαφέρον. Και πάλι ευχαριστώ.

[grigkost]

...f(x)= -(ρίζα χ) για χ<0
1 για χ=0

(συγγνώμη αλλά δεν έχω πρόγραμμα συγγραφής μαθηματικών)...

Δεν χρειάζεται να έχετε πρόγραμμα γραφής μαθηματικών! Αρκεί να μάθετε να χρησιμοποιείτε τον Eqeditor που "προβάλει" πατώντας το αντίστοιχο κουμπί στο παράθυρο δημοσίευσης.
Αρκετά μέλη του mathematica.gr γράφουν (κώδικα ) τους μαθηματικούς τύπους στις δημοσιεύσεις τους με αυτόν.
Να σημειώσω ότι
1) υπάρχουν εκτεταμένες οδηγίες για τον κώδικα .
2) από τον κανονισμό είναι απαραίτητο οι μαθηματικοί τύποι στις δημοσιεύσεις να είναι γραμμένες σε κώδικα .

Υ.Γ. Επίσης η δεν ορίζεται για . Κάτι άλλο θα θέλατε να γράψετε.

[Γιώργος Τελώνης]

Ουπς Τα λάθη και οι παραλείψεις είναι για να μαθαίνουμε υποθέτω. Ευχαριστώ για τις πολύ κομψές επισημάνσεις, όπως είπα, είμαι αμύητος στο site.

Όσο για το υστερόγραφο, διορθώνω εδώ (για να δοκιμάσω και το Eqeditor)

[grigkost]

...
Για την δεύτερη απορία .
Η διαίσθηση σου δεν σε ξεγέλασε.

Η

με

και

είναι κυρτή αλλά όχι συνεχής στα ..

Να προσθέσω ότι κάθε συνάρτηση που είναι κυρτή* σε ένα διάστημα, είναι συνεχής σε κάθε εσωτερικό σημείο του διαστήματος.
Ακόμα περισσότερο: Σε κάθε εσωτερικό σημείο υπάρχουν οι πλευρικές παράγωγοι της συνάρτησης.
(Αλλά βέβαια αυτά είναι εντελώς εκτός της ύλης της Γ' Λυκείου )

(*) σύμφωνα με τον κλασσικό ορισμό, όχι αυτόν με την μονοτονία της παραγώγου.

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

Ενα κείμενο στα Ελληνικά από έναν παγκόσμια γνωστό στην Κυρτή Ανάλυση τον
Απόστολο Γιαννόπουλο.Στην ιστοσελίδα του στο Μαθηματικό Αθηνών υπάρχουν και
άλλες εξαίρετες σημειώσεις.
Στην σελίδα 105 υπάρχει η θεωρία για τις κυρτές συναρτήσεις μιας μεταβλητής.


Συμπλήρωμα
Συμπλήρωσα κάποια στοιχεία για τον συγγραφέα των σημειώσεων.