mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Απρ 30, 2016 8:07 pm**

Καλησπέρα στο forum,

Τα παραπάνω θέματα προσομοίωσης πανελληνίων στα μαθηματικά προσανατολισμού είναι πολύ υψηλού επιπέδου και τα έχω φτιάξει από ποικίλες πηγές βοηθημάτων και ασκήσεων. Περιμένω σχόλιά σας και προτεινόμενες λύσεις. Στις επόμενες ημέρες θα ανεβάσω και τις δικές μου προτεινόμενες λύσεις. Θα χαρώ πολύ αν βάλετε τα θέματα σε μαθητές σας για λύση, διότι πραγματικά αξίζουν και είμαι βέβαιος ότι ερωτήματά τους ή τεχνάσματα τους θα υπάρξουν στις φετινές πανελλήνιες! Τα θέματα γράφτηκαν σε word 2016 και τα παραθέτω με συνημμένο αρχείο.

Καλή Ανάσταση,
Θεοδωράκης Νίκος.

Τυπογραφικό: Είχα κάνει τυπογραφικό το οποίο διόρθωσα στο Β2, είχα γράψει $\displaystyle{f'(1)=0}$ ενώ είναι $\displaystyle{f'(1)=1}$ . Αν και δεν επηρεάζει πολύ το αποτέλεσμα του ορίου. Ευχαριστώ!

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Απρ 30, 2016 9:03 pm**

Θέμα Β

B1)

Από την δοθείσα σχέση για x=1

προκύπτει ότι f(1)=0

.
$f^{3}(x)+f(x)=x-1\Leftrightarrow f(x)[f^{2}(x)+1]=x-1\Leftrightarrow f(x)=\frac{x-1}{f^{2}(x)+1}$

$\lim_{x \rightarrow 1}f(x)=lim_{x \rightarrow 1}\frac{x-1}{f^{2}(x)+1}=0=f(1)$
Άρα η

είναι συνεχής στο $x_{0}=1$ .

$\forall x_{1},x_{2}\in R$ με $\forall f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow f(x_{1})+f^{3}(x_{1})=f(x_{2})+f^{3}(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2}$
Άρα η

είναι

, συνεπώς και αντιστέψιμη.
Όπου

το $f^{-1}(x)$ και έχουμε ότι $f^{-1}(x)=x^{3}+x+1$ .

ii)

$\int_{1}^{3}{f(x)dx}=\int_{0}^{1}{u (f^{-1}(u))' du}= ... =\frac{3}{2}$ (Μετασχηματισμός u=f(x)

B2) $\int_{F(1)}^{0}{(f^{2}(x)-2f(x)+1)dx}=0\Leftrightarrow \int_{F(1)}^{0}{(f(x)-1)dx}=0\Leftrightarrow$ f(x)=1

άτοπο διότι η

δεν είναι σταθερή ή F(1)=0

$lim_{x \rightarrow 1}(f(x)-1)ln(x-1)=lim_{x \rightarrow 1}\frac{f(x)-1}{\frac{1}{ln(x-1)}}=[DLH]=- lim_{x \rightarrow 1}(x-1)ln(x-1)f'(x)=0$

γιατί: $lim_{x \rightarrow 1}(x-1)ln(x-1)=lim_{x \rightarrow 1}\frac{ln(x-1)}{\frac{1}{x-1}}=[DLH]=0$ f'(1)=0

$lim_{x \rightarrow 1^{+}}\frac{x-1}{F(x)}=[DLH]=lim_{x \rightarrow 1^{+}}\frac{1}{f(x)}=+ \propto$

Β3) $f^{-1}(x)=f(x)\Leftrightarrow f^{-1}(x)=x\Rightarrow x^{3}+x+1=x\Leftrightarrow x=-1$

$f^{-1}(x)>x\Leftrightarrow x>-1$
Άρα $E=\int_{-1}^{0}{(f^{-1}(x)-f(x))dx}= ...$ (Με παρόμοιο μετασχηματισμό)

Με συγχωρείτε αν έχω κάνει κάποιο αριθμητικό λάθος ή αν τα έχω γράψει πολύ συνοπτικά.Παρ'όλα αυτά ευελπιστώ σαν σκέψη να είναι σωστή και να μην έχω κάνει κάποιο τραγελαφικό ατόπημα (μπορώ να πω ότι ήταν ένα εύκολο δεύτερο θέμα που κάλυπτε αρκετά πράγματα).Όταν μπορέσω θα λύσω το Γ,Δ -εάν δεν με προλάβουν-.
Τελειώνοντας ,πριν πάω για ένα καφέ να ξεσκάσω πριν την Ανάσταση, να παραθέσω την άποψη μου.Θα μπορούσατε αρχικά να μην δώσετε ότι η

είναι σταθερή.Έτσι, θα βάζαμε όπου f(x)=1

στη δοθείσα σχέση και δε θα ίσχυε, αφού η σχέση ισχύει $\forall x \in R$ .

Καλή Ανάσταση!

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Απρ 30, 2016 10:29 pm**

Καλησπέρα, θα κάνω τις εξής παρατηρήσεις:

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 1}f(x)=lim_{x \rightarrow 1}\frac{x-1}{f^{2}(x)+1}=0=f(1)}$

Αυτόν τον ισχυρισμό στο Β1 δεν μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε καθώς για να ισχύει πρέπει να γνωρίζουμε ότι υπάρχει το όριο της f στο 1 ώστε να μπορούμε να υπολογίσουμε το όριο του παρονομαστή (στην περίπτωση αυτή δεν ξέρουμε καν αν υπάρχει το όριο της f στο 1). Εσείς στην ουσία εφαρμόζετε ιδιότητα ορίων χωρίς να γνωρίζετε αν υπάρχει το όριο της f, πράγμα που είναι λάθος και ας βγαίνει σωστό το αποτέλεσμα (τονίζεται και στο σχολικό ότι για να γίνουν οι ιδιότητες ορίων πρέπει να γνωρίζουμε ότι υπάρχουν τα επιμέρους όρια).

Το Β2 θέλει πιο αναλυτική απόδειξη του γιατί ισχύει $\displaystyle{F(1)=0}$ , διότι όπως το παραθέτετε αν και είναι σωστή η σκέψη μεν δεν είναι πλήρης η αιτιολόγηση δε, δηλαδή πρέπει να πάρουμε περιπτώσεις $\displaystyle{F(1)<0}$ και $\displaystyle{F(1)>0}$ και να ολοκληρώσουμε την $\displaystyle{[f(x) - 1]^2}$ που είναι μη αρνητική (και όχι παντού 0 αφού f όχι σταθερή) στα διαστήματα $\displaystyle{[F(1), 0] [0, F(1)]}$ καταλήγοντας σε άτοπο κάθε φορά, οπότε $\displaystyle{F(1)=0}$ , αυτό προτείνω εγώ.

Η σχέση $\displaystyle{f^{-1}(x)=f(x)\Leftrightarrow f^{-1}(x)=x}$
που ισχύει όταν η f είναι γνησίως αύξουσα πρέπει να αποδειχθεί για να χρησιμοποιηθεί εφόσον δεν υπάρχει ως θεωρία ή εφαρμογή στο σχολικό βιβλίο.

Τις λύσεις που προτείνω για Β1 i) και Β3 τις παραθέτω σε συνημμένο.

Με τα υπόλοιπα συμφωνώ και το θεωρώ μέτριο και καλό Β θέμα (όπως θα έπρεπε να είναι, καθώς το διαγώνισμα πρέπει να εμφανίζει κλιμάκωση) διότι έχει τα λεπτά σημεία του και καλύπτει πολλά από την ύλη. Επίσης συμφωνώ και με τις παρατηρήσεις σας!

Ευχαριστώ και καλή Ανάσταση!

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μάιος 01, 2016 12:38 am**

nickos_m έγραψε:Θέμα Β

B1)Από την δοθείσα σχέση για προκύπτει ότι .
$f^{3}(x)+f(x)=x-1\Leftrightarrow f(x)[f^{2}(x)+1]=x-1\Leftrightarrow f(x)=\frac{x-1}{f^{2}(x)+1}$

$\lim_{x \rightarrow 1}f(x)=lim_{x \rightarrow 1}\frac{x-1}{f^{2}(x)+1}=0=f(1)$
Άρα η είναι συνεχής στο $x_{0}=1$ .

$\forall x_{1},x_{2}\in R$ με $\forall f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow f(x_{1})+f^{3}(x_{1})=f(x_{2})+f^{3}(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2}$
Άρα η είναι , συνεπώς και αντιστέψιμη.
Όπου το $f^{-1}(x)$ και έχουμε ότι $f^{-1}(x)=x^{3}+x+1$ .

$\int_{1}^{3}{f(x)dx}=\int_{0}^{1}{u (f^{-1}(u))' du}= ... =\frac{3}{2}$ (Μετασχηματισμός

B2) $\int_{F(1)}^{0}{(f^{2}(x)-2f(x)+1)dx}=0\Leftrightarrow \int_{F(1)}^{0}{(f(x)-1)dx}=0\Leftrightarrow$ άτοπο διότι η δεν είναι σταθερή ή

$lim_{x \rightarrow 1}(f(x)-1)ln(x-1)=lim_{x \rightarrow 1}\frac{f(x)-1}{\frac{1}{ln(x-1)}}=[DLH]=- lim_{x \rightarrow 1}(x-1)ln(x-1)f'(x)=0$

γιατί: $lim_{x \rightarrow 1}(x-1)ln(x-1)=lim_{x \rightarrow 1}\frac{ln(x-1)}{\frac{1}{x-1}}=[DLH]=0$

$lim_{x \rightarrow 1^{+}}\frac{x-1}{F(x)}=[DLH]=lim_{x \rightarrow 1^{+}}\frac{1}{f(x)}=+ \propto$

Β3) $f^{-1}(x)=f(x)\Leftrightarrow f^{-1}(x)=x\Rightarrow x^{3}+x+1=x\Leftrightarrow x=-1$

$f^{-1}(x)>x\Leftrightarrow x>-1$
Άρα $E=\int_{-1}^{0}{(f^{-1}(x)-f(x))dx}= ...$ (Με παρόμοιο μετασχηματισμό)

Με συγχωρείτε αν έχω κάνει κάποιο αριθμητικό λάθος ή αν τα έχω γράψει πολύ συνοπτικά.Παρ'όλα αυτά ευελπιστώ σαν σκέψη να είναι σωστή και να μην έχω κάνει κάποιο τραγελαφικό ατόπημα (μπορώ να πω ότι ήταν ένα εύκολο δεύτερο θέμα που κάλυπτε αρκετά πράγματα).Όταν μπορέσω θα λύσω το Γ,Δ -εάν δεν με προλάβουν-.
Τελειώνοντας ,πριν πάω για ένα καφέ να ξεσκάσω πριν την Ανάσταση, να παραθέσω την άποψη μου.Θα μπορούσατε αρχικά να μην δώσετε ότι η είναι σταθερή.Έτσι, θα βάζαμε όπου στη δοθείσα σχέση και δε θα ίσχυε, αφού η σχέση ισχύει $\forall x \in R$ .

Καλή Ανάσταση!

Ποιο το πεδίο ορισμού της αντίστροφης;

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μάιος 01, 2016 3:13 am**

Stateofmind έγραψε:
nickos_m έγραψε: Ποιο το πεδίο ορισμού της αντίστροφης;

εδώ και στις παραπομπές

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μάιος 01, 2016 8:04 pm**

Καλησπέρα,

Ο προσωπικός μου σχολιασμός για το διαγώνισμα προσομοίωσης μαθηματηκών προσανατολισμού που εχθές κατέθεσα και οι προτεινόμενες λύσεις σε συνημμένο αρχείο. Περιμένω τη γνώμη σας.

Θέμα Α

Α1 Μια όμορφη απόδειξη, γνωστή σε όλους.

Α2 Ένας ορισμός που δεν συναντάται και τόσο συχνά.

Α3 Ένας συνηθισμένος ορισμός που κάποιοι μπορούν να μπερδευτούν και να δώσουν τον ορισμό με την παράγωγο που θα ήταν λάθος (δεν δίνεται ότι f παραγωγίσιμη και πρέπει να δωθεί ο κλασσικός ορισμός).

Α4 Σ-Λ με παγίδες και λεπτά σημεία, για πολύ καλά διαβασμένους στη θεωρία

Θέμα Β

Β1 i) Αρκετά καλό και δύσκολο ερώτημα είναι να αποδειχθεί η συνέχεια στο 1 καθώς απαιτεί λεπτούς χειρισμούς με ανισότητες για να κάνουμε Κριτήριο Παρεμβολής. Τα υπόλοιπα εύκολα.

ii) Βασικό ολοκλήρωμα με αντικατάσταση.

Β2 Το πρώτο όριο είναι βασικό και βγαίνει εύκολα με τη χρήση κανόνων DLH.

Στο δέυτερο όριο ενδιαφέρον είναι ο τρόπος που αποδεικνύουμε ότι F(1) = 0 για να εφαρμόσουμε κανόνα DLH.

Β3 Βασική άσκηση με αρκετές πράξεις που απαιτεί απόδειξη της πρότασης: Όταν μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και αντιστρέψιμη τότε αν έχει κοινά σημεία με την αντίστροφή της αυτά θα βρίσκονται πάνω στην ευθεία y = x.

Θέμα Γ

Γ1 i) Μια αρκετά δύσκολη εύρεση τύπου που απαιτεί λεπτούς χειρισμούς τόσο στην εύρεση του f(0) όσο και στον μετασχηματισμό της δοθείσας διαφορικής.

ii) Απλό ερώτημα.

Γ2 Καλό ερώτημα που απαιτεί συνδυαστική σκέψη κυρτότητας - εφαπτομένης - ολοκληρωμάτων - ανισοτήτων.

Γ3 Σχετικά εύκολο ερώτημα που απαιτεί λίγη παρατηρητικότητα.

Γ4 Βασικό ερώτημα, χωρίς ιδιαίτερες δυσκολίες.

Θέμα Δ

Δ1 Μια πάρα πολύ απαιτητική εύρεση τύπου από ανισότητα παραγώγου που απαιτεί χρήσεις ΘΜΤ σε μεταβλητά διαστήματα με χ, ίσως από τις δυσκολότερες που κυκλοφορούν, δύσκολα θα έπεφτε σε θέμα πανελληνίων. Η εύρεση των τιμών της f απαιτεί χρήση ΘΜΤ και απαιτεί λίγη παρατηρητικότητα.

Δ2 Καλή εύρεση τύπου που απαιτεί παρατηρητικότητα για να "ξεκλειδωθεί" η σχέση της εκφώνησης. Το υπόλοιπο του ερωτήματος απλό.

Δ3 Η εξίσωση απαιτεί συνδυαστική σχέψη με κυρτότητα και εφαπτομένη, το εμβαδόν βρίσκεται εύκολα.

Δ4 Αξιοσημείωτες περιπτώσεις ορίων που θεωρούνται αρκετά απαιτητικές στον υπολογισμό τους.

Αρκετά ερωτήματα θα μπορούσαν να μπούν σε διαγώνισμα πανελληνίων. Αν και απουσιάζει το θεώρημα Bolzano, Rolle και Fermat, θεωρώ το διαγώνισμα αρκετά απαιτητικό και το πολύ καλά - άριστα επιτυγχάνεται πάρα πολύ δύσκολα και μόνο από άριστα προετοιμασμένους υποψηφίους που έχουν ειδική κλίση προς τα μαθηματικά και τα υπολογιστικά τρικ και έχουν δουλέψει πολύ. Η βάση, θεωρώ, πιάνεται σχετικά εύκολα αν και η θεωρία είναι πολύ απαιτητηκή με παγίδες στο Σ-Λ. Το διαγώνισμα θα μπορούσε να γίνει και πολύ πιο δύσκολο αλλά δεν θα είχε νόημα καθώς απευθύνεται σε μαθητές όχι μαθηματικούς. Η κλιμάκωση δεν είναι και τόσο καλή ούτε και η κατανομή της βαθμολογίας, αλλά αυτό επειδή είναι το πρώτο διαγώνισμα που φτιάχνω (ήμουν περσινός υποψήφιος στις Πανελλήνιες 2015 και δεν έχω εμπειρία κατασκευής διαγωνισμάτων)

Θεοδωράκης Νίκος.