Μία για επαναληψη με ολοκλ και παραγώγιση αντιστ.

mathxl · #1

Έστω $f(x) = \sigma\phi x , x\in [\pi/4,\pi/2]$

ι. Να δείξετε ότι η

αντιστρέφεται και να υπολογίσετε τα $f^{ - 1} \left( 1 \right),f^{ - 1} \left( 0 \right)$
ιι. Εάν γνωρίζετε ότι υπάρχει η παράγωγος της αντίστροφης της

, να την βρείτε
ιιι. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $I = \int_0^1 {\frac{{df^{ - 1} \left( u \right)}}{{dx}}} \ln \left( {1 + u} \right)du$

Τα μπλε είναι προσθήκη...

#2

mathxl έγραψε:Έστω f(x) = σφx , x ανήκει στο [π/4,π,2]

ι. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να υπολογίσετε τα $\displaystyle{f^{ - 1} \left( {\frac{\pi }{4}} \right),f^{ - 1} \left( {\frac{\pi }{2}} \right)}$
ιι. Να βρείτε την $\displaystyle{\frac{{df^{ - 1} \left( x \right)}}{{dx}}}$
ιιι. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $\displaystyle{I = \int_0^1 {\frac{{df^{ - 1} \left( u \right)}}{{dx}}} \ln \left( {1 + u} \right)du}$

Ερώτηση για συζήτηση :

Την ύπαρξη της παραγώγου της αντίστροφης την θεωρείς δεδομένη , την συμπεραίνεις από τη γραφική παράσταση, από όπου υπολογίζεις γραφικά σχεδόν και την παράγωγό της ή έχεις κάτι άλλο στο μυαλό σου ; Γιατί και γω κάνω κατά καιρούς διάφορα πράγματα με αυτό το θέμα και κάθε φορά βάζω και από ένα ερώτημα, μια και δεν έχουμε στη θεωρία το σχετικό θεώρημα για να μας ...λύσει τα χέρια ! Ανοίγω λίγο το θέμα, διότι έκουσα ότι πέρυσι είχαν στο μανίκι κάποιοι θεματοδότες - σύμβουλοι θέμα πάνω σε αυτό το εδάφιο ! Είναι βέβαια να τραβάς τα μαλιά σου με αυτά που ακούς, αλλά εδώ ας προλάβουμε ..το κακό !
Μπάμπης
Μπάμπης

mathxl · #3

Μχμχμχ.. αυτό που ρωτάς ..μου διέφυγε ... θεώρησα την ύπαρξη της παραγώγου της αντίστροφης ως δεδομένη και για τον υπολογισμό της , παραγωγίζουμε την $f^{ - 1} \left( {f\left( x \right)} \right) = x,\forall x \in D_f$ και κάνουμε αλλαγή μεταβλητής
Προσωπικά μου αρκεί άυτό που λες
Αν κατάλαβα καλά, λες να κάνουμε την γραφική της

και της $f^{-1}$ απόπου μπορούμε να συμπεράνουμε την ύπαρξη της παραγώγου επειδή μπορούμε να φέρουμε εφαπτομένη με συντ.διευθ. πραγματικό σε οποιοδήποτε σημείο της

Συμπληρώνω και το παρακάτω
Έστω x_o

τυχαίο σημείο του $[\pi/4,\pi/2]$ τότε
$\begin{array}{l} f\left( {x_0 } \right) = y_0 \Leftrightarrow x_0 = f^{ - 1} \left( {y_0 } \right) \\ \frac{{df\left( {x_0 } \right)}}{{dx}} = \lambda \ne 0,\forall x\left[ {\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}} \right] \\ \end{array}$
άρα
$\begin{array}{l} \frac{1}{{\frac{{df\left( {x_0 } \right)}}{{dx}}}} = \frac{1}{\lambda } \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0 } \frac{{x - x_0 }}{{f\left( x \right) - f\left( {x_0 } \right)}} = \frac{1}{\lambda }\mathop \Leftrightarrow \limits^{x = f^{ - 1} \left( y \right)} \mathop {\lim }\limits_{y \to y_0 = f\left( {x_0 } \right)} \frac{{f^{ - 1} \left( y \right) - f^{ - 1} \left( {y_0 } \right)}}{{y - y_0 }} = \frac{1}{\lambda } \\ \alpha \rho \alpha \frac{{df^{ - 1} \left( {y_0 } \right)}}{{dy}} = \frac{1}{\lambda } \\ \end{array}$
Για την αλλαγή μεταβλητής, λεπτομέρεια $y_0 = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0 } f\left( x \right)\mathop = \limits_{\sigma \upsilon \nu \varepsilon \chi \eta \varsigma }^f f\left( {x_0 } \right)$

#4

mathxl έγραψε:Μχμχμχ.. αυτό που ρωτάς ..μου διέφυγε ... θεώρησα την ύπαρξη της παραγώγου της αντίστροφης ως δεδομένη και για τον υπολογισμό της , παραγωγίζουμε την $\displaystyle{f^{ - 1} \left( {f\left( x \right)} \right) = x,\forall x \in D_f }$ και κάνουμε αλλαγή μεταβλητής
Προσωπικά μου αρκεί άυτό που λες
Αν κατάλαβα καλά, λες να κάνουμε την γραφική της f και της f^-1 απόπου μπορούμε να συμπεράνουμε την ύπαρξη της παραγώγου επειδή μπορούμε να φέρουμε εφαπτομένη με συντ.διευθ. πραγματικό σε οποιοδήποτε σημείο της

Συμπληρώνω και το παρακάτω
Έστω x0 τυχαίο σημείο του [π/4,π/2] τότε
$\displaystyle{\begin{array}{l} f\left( {x_0 } \right) = y_0 \Leftrightarrow x_0 = f^{ - 1} \left( {y_0 } \right) \\ \frac{{df\left( {x_0 } \right)}}{{dx}} = \lambda \ne 0,\forall x\left[ {\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}} \right] \\ \end{array}}$
άρα
$\displaystyle{\begin{array}{l} \frac{1}{{\frac{{df\left( {x_0 } \right)}}{{dx}}}} = \frac{1}{\lambda } \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0 } \frac{{x - x_0 }}{{f\left( x \right) - f\left( {x_0 } \right)}} = \frac{1}{\lambda }\mathop \Leftrightarrow \limits^{x = f^{ - 1} \left( y \right)} \mathop {\lim }\limits_{y \to y_0 = f\left( {x_0 } \right)} \frac{{f^{ - 1} \left( y \right) - f^{ - 1} \left( {y_0 } \right)}}{{y - y_0 }} = \frac{1}{\lambda } \\ \alpha \rho \alpha \frac{{df^{ - 1} \left( {y_0 } \right)}}{{dy}} = \frac{1}{\lambda } \\ \end{array}}$
Για την αλλαγή μεταβλητής, λεπτομέρεια $\displaystyle{y_0 = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0 } f\left( x \right)\mathop = \limits_{\sigma \upsilon \nu \varepsilon \chi \eta \varsigma }^f f\left( {x_0 } \right)}$

Αυτή η απόδειξη είναι καλή , αλλά να έχεις υπόψη σου ότι έμμεσα χρησιμοποιείς την συνέχεια της αντίστροφης (την οποία τη δέχομαι ως γνωστή ύλη , δεν είναι όμως διατυπωμένη στο βιβλίο ! Άβυσσος γαρ η ανάλυση ....).
Μπάμπης

mathxl · #5

Η λύση :|

Μία για επαναληψη με ολοκλ και παραγώγιση αντιστ.

Μία για επαναληψη με ολοκλ και παραγώγιση αντιστ.

Re: Μία για επαναληψη με ολοκλ και παραγώγιση αντιστ.

Re: Μία για επαναληψη με ολοκλ και παραγώγιση αντιστ.

Re: Μία για επαναληψη με ολοκλ και παραγώγιση αντιστ.

Re: Μία για επαναληψη με ολοκλ και παραγώγιση αντιστ.

Μέλη σε σύνδεση