Mια βασική άσκηση.

Συντονιστές: R BORIS, KAKABASBASILEIOS, Μπάμπης Στεργίου, m.pαpαgrigorakis, Καρδαμίτσης Σπύρος, Πρωτοπαπάς Λευτέρης

Άβαταρ μέλους
Τηλέγραφος Κώστας
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1025
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:06 am
Τοποθεσία: ΦΕΡΕΣ-ΑΛΕΞ/ΠΟΛΗ
Επικοινωνία:

Mια βασική άσκηση.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τηλέγραφος Κώστας » Τετ Ιαν 07, 2009 10:37 am

Αλλά δύσκολη
-------------------------------------------------------------------------------------
Αν η φ παραγωγίσιμη στο R , ν.δ.ο υπάρχει ξ τέτοιο ώστε φ΄(ξ)=εφξ.
-------------------------------------------------------------------------------------
Αργότερα θα δώσω και ένα διάστημα .........


Φιλικά
Τηλέγραφος Κώστας
\displaystyle{
F(x) = \int_a^x {f(t)dt} 
}
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 4023
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Mια βασική άσκηση.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Τετ Ιαν 07, 2009 11:10 am

Άκυρη η "λύση".

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Άβαταρ μέλους
Τηλέγραφος Κώστας
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1025
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:06 am
Τοποθεσία: ΦΕΡΕΣ-ΑΛΕΞ/ΠΟΛΗ
Επικοινωνία:

Re: Mια βασική άσκηση.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τηλέγραφος Κώστας » Τετ Ιαν 07, 2009 11:26 am

cretanman έγραψε:Άκυρη η "λύση".

Αλέξανδρος
Tι εννοείς...............


Φιλικά
Τηλέγραφος Κώστας
\displaystyle{
F(x) = \int_a^x {f(t)dt} 
}
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 4023
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Mια βασική άσκηση.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Τετ Ιαν 07, 2009 11:32 am

Κώστα είχα γράψει κάποιες σκέψεις οι οποίες όμως δεν λειτουργούσαν για την άσκηση, τις έσβησα και γι' αυτό έγραψα άκυρη η (υποτιθέμενη) λύση μου.

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
k-ser
Δημοσιεύσεις: 870
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 10:22 am
Τοποθεσία: Μουζάκι Καρδίτσας
Επικοινωνία:

Re: Mια βασική άσκηση.

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από k-ser » Τετ Ιαν 07, 2009 11:36 am

Αλέξανδρε,
έτυχε να δω τη λύση σου. Μπορείς να τη διορθώσεις εύκολα, αν δεν τόχεις κάνει ήδη!
"Βγάλε το ln και πάρε το διάστημα [-π/2,π/2].


Κώστας Σερίφης
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 4023
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Mια βασική άσκηση.

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Τετ Ιαν 07, 2009 11:38 am

Θεωρούμε τη συνάρτηση F(x)=e^{\varphi(x)}\cos(x) περιορισμένη στο διάστημα \displaystyle\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]

Φανερά F\left(-\frac{\pi}{2}\right)=F\left(\frac{\pi}{2}\right)=0, άρα υπάρχει \xi\in\displaystyle\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) τέτοιο ώστε F^{\prime}(\xi)=0, και το ζητούμενο έπεται.

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 4023
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Mια βασική άσκηση.

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Τετ Ιαν 07, 2009 11:41 am

Ευχαριστώ πολύ κύριε Σερίφη! Μόλις το είχα δει αφού παραγωγίζοντας την προηγούμενη συνάρτηση, είχα αυτό που ήθελα στον αριθμητή οπότε αρκούσε να θεωρήσω τη συγκεκριμένη συνάρτηση αντί εκείνης που είχα θεωρήσει στην αρχή!

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13176
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Mια βασική άσκηση.

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Ιαν 07, 2009 2:36 pm

Τηλέγραφος Κώστας έγραψε:Αλλά δύσκολη
-------------------------------------------------------------------------------------
Αν η φ παραγωγίσιμη στο R , ν.δ.ο υπάρχει ξ τέτοιο ώστε φ΄(ξ)=εφξ.
-------------------------------------------------------------------------------------


Αξίζει ένα σχόλιο εδώ για να μην φαίνεται «ουρανοκατέβατη» η επιλογή του “cos(x)” που έχει ο Αλέξανδρος στη λύση του.

Πιο γενικά, αν μας δίνεται g συνεχής και θέλουμε να δείξουμε ότι υπάρχει ξ με φ’ (ξ) = g(ξ), τότε το πρώτο πράγμα που εξετάζουμε είναι η
F(x) = e^{\phi(x)}e^ \left(-\int g(x)dx  \right) (παραγωγίστε να δείτε τι γίνεται) .

Εννοείται ότι, ανάλογα με την g που θα μας δώσουν, επιλέγουμε και το κατάλληλο κλειστό σύνολο που θα εφαρμόσουμε το θεώρημα Rolle. Αν δίνεται κάποιο σύνολο [a, b] αναφοράς, τότε συχνά (όχι πάντα!!!) εργαζόμαστε σε αυτό και αντικαθιστούμε το -\int g(x)dx παραπάνω με το -\int_{a}^{x}{g(t)dt}.

Τι κάνει την συγκεκριμένη g του Κώστα δύσκολη (g(x) = εφx) είναι ότι απειρίζεται στο «φυσιολογικό» σύνολο αναφοράς [-π/2, π/2]. Ευτυχώς, για την συγκεκριμένη, το αόριστο ολοκλήρωμα -\int g(x)dx είναι «καλό» (δίνει e^ {\left(-\int g(x)dx  \right)} = cos(x)) στο ίδιο διάστημα, και όλα ήρθαν στη θέση τους.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου.


Άβαταρ μέλους
Τηλέγραφος Κώστας
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1025
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:06 am
Τοποθεσία: ΦΕΡΕΣ-ΑΛΕΞ/ΠΟΛΗ
Επικοινωνία:

Re: Mια βασική άσκηση.

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τηλέγραφος Κώστας » Τετ Ιαν 07, 2009 7:02 pm

------------------------------------------------------------------------------------
Αν η φ παραγωγίσιμη στο R , ν.δ.ο υπάρχει ξ τέτοιο ώστε φ΄(ξ)=εφξ.
-------------------------------------------------------------------------------------
Οπως την εχω λυμενη,,
1ος Τροπος


\displaystyle{\begin{array}{l} 
 \Gamma \iota \alpha {\rm{  }}x \in \left( { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right){f^\prime }\left( x \right) = \varepsilon \phi x \Leftrightarrow {f^\prime }\left( x \right) = \frac{{\eta \mu x}}{{\sigma \upsilon \nu x}} \Leftrightarrow  \\  
 {f^\prime }\left( x \right) = \frac{{{{\left( { - \sigma \upsilon \nu x} \right)}^\prime }}}{{\sigma \upsilon \nu x}} \Leftrightarrow {f^\prime }\left( x \right) = {\left( { - \ln \sigma \upsilon \nu x} \right)^\prime } \Leftrightarrow  \\  
 {\left( {f\left( x \right) + \ln \sigma \upsilon \nu x} \right)^\prime } = 0,,,x \in \left( { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right) \\  
 {\left( {\ln {e^{f\left( x \right)}} + \ln \sigma \upsilon \nu x} \right)^\prime } = 0 \\  
 {\left( {\ln \left( {{e^{f\left( x \right)}}\sigma \upsilon \nu x} \right)} \right)^\prime } = 0 \\  
 \end{array}}.
Εφαρμόζουμε Rolle για την \displaystyle{g(x) = {e^{ - f(x)}}\sigma \upsilon \nu x}
στο (-π/2 ,π/2)

2ος Τροπος
\displaystyle{{f^\prime }\left( x \right) = \varepsilon \phi x \Leftrightarrow {f^\prime }\left( x \right) = \frac{{\eta \mu x}}{{\sigma \upsilon \nu x}} \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu x{f^\prime }\left( x \right) - \eta \mu x = 0}
[Επειδή δεν έχουμε άλλο f θα μαζέψουμε το f ΄(χ) επί \displaystyle{\displaystyle {e^{f(x)}}}
\displaystyle{\begin{array}{l} 
 \sigma \upsilon \nu x{e^{f(x)}}{f^\prime }\left( x \right) - {e^{f(x)}}\eta \mu x = 0 \Leftrightarrow  \\  
 \sigma \upsilon \nu x{\left( {{e^{f(x)}}} \right)^\prime } + {e^{f(x)}}{\left( {\sigma \upsilon \nu x} \right)^\prime } = 0 \\  
 {\left( {\sigma \upsilon \nu x{e^{f(x)}}} \right)^\prime } = 0 \\  
 \end{array}}


Εφαρμόζουμε Rolle για την \displaystyle{g(x) = {e^{ - f(x)}}\sigma \upsilon \nu x}
στο (-π/2 ,π/2)
Συνημμένα
(ξ)=εφξ.pdf
(129.1 KiB) Μεταφορτώθηκε 98 φορές


Φιλικά
Τηλέγραφος Κώστας
\displaystyle{
F(x) = \int_a^x {f(t)dt} 
}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες