ΘΕΜΑ(2)

APOSTOLAKIS · #1

Δίνεται η συνάρτηση $g(x)=x^{3}+3x^{2}+3x$ , xεIR.
(α). Να βρεθεί η αντίστροφη της
(β). Να εξετάσετε αν $g^{-1}$ είναι παραγωγίσιμη στο $x_{0}=-1$
(γ). Να αποδείξετε ότι η $g^{-1}$ είναι γνησίως αύξουσα.
(δ). Δίνεται η συνάρτηση $f:IR\rightarrow IR$ τέτοια ώστε:
$f(x^{3}+3x^{2}+3x)\leq x\leq f^{3}(x)+3f^{2}(x)+3f(x)$ γαι κάθε xεIR.
Να βρεθεί ο τύπος της f.

mathxl · #2

Είναι $\displaystyle{g\left( x \right) = \left( {x + 1} \right)^3 - 1}$ οπότε εύκολα με ορισμό ή παράγωγο η g είναι γνησίως αύξουσα (οπότε και η $\displaystyle{g^{ - 1} \left( x \right)}$ θα είναι γνησίως αύξουσα) συνεπώς 1-1 οπότε αντιστρέψιμη με την γνωστή διαδικασία εύρεσης αντίστροφης έχουμε $\displaystyle{g^{ - 1} \left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} \sqrt[3]{{x + 1}} - 1,x \ge - 1 \\ - \sqrt[3]{{ - 1 - x}} - 1,x < - 1 \\ \end{array} \right.}$
Είναι $\displaystyle{\begin{array}{l} g\left( { - 1} \right) = - 1 \Leftrightarrow g^{ - 1} \left( { - 1} \right) = - 1 \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1^ - } \frac{{g^{ - 1} \left( x \right) - g^{ - 1} \left( { - 1} \right)}}{{x + 1}} = ... = + \infty \\ \end{array}}$ άρα η $\displaystyle{{g^{ - 1} \left( x \right)}}$ δεν είναι παραγωγίσιμη στο -1
δ) η δδοσμένη σχέση γράφεται ισοδύναμα $\displaystyle{f\left( {g\left( x \right)} \right) \le x \le g\left( {f\left( x \right)} \right)}$ για κάθε πραγματικό x
επειδή $\displaystyle{g^{ - 1} }$ γνησίως αύξουσα έχουμε $\displaystyle{g^{ - 1} \left( x \right) \le f\left( x \right)}$
εάν τώρα θέσουμε στην δοσμένη ανισότητα όπου $\displaystyle{x = g^{ - 1} \left( x \right)}$ παίρνουμε $\displaystyle{f\left( x \right) \le g^{ - 1} \left( x \right)}$ συνεπώς δείξαμε ότι $\displaystyle{g^{ - 1} \left( x \right) \le f\left( x \right) \le g^{ - 1} \left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = g^{ - 1} \left( x \right),\forall x \in R}$

ΘΕΜΑ(2)

ΘΕΜΑ(2)

Re: ΘΕΜΑ(2)

Μέλη σε σύνδεση