Καλά τοποθετημένο πρόβλημα Cauchy

Συντονιστής: Πρωτοπαπάς Λευτέρης

Απάντηση
ath_paras
Δημοσιεύσεις: 4
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 11, 2021 12:59 am
Επικοινωνία:
Επικοινωνία ath_paras

Καλά τοποθετημένο πρόβλημα Cauchy

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ath_paras » Τετ Δεκ 28, 2022 1:31 am

Έχουμε το δοσμένο πρόβλημα

\displaystyle{xu_x-yu_y=u,\ x>0, \ y>0 \ (1)}
\displaystyle{u(x,x)=x^2, \ x>0, \ (2)}



Γνωρίζουμε ότι για να είναι ένα πρόβλημα καλά τοποθετημένο:
  • έχει μια λύση
  • η λύση είναι μοναδική
  • μια μικρή αλλαγή στην Μ.Δ.Ε/στις πλευρικές συνθήκες παράγει μόνο μικρές αλλαγές στη λύση.




Επίσης, μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι η Μ.Δ.Ε είναι γραμμική, πρώτης τάξης και ομογενής αν τη γράψουμε στη μορφή
\displaystyle{xu_x-yu_y-u=0,\ x>0, \ y>0 \ (1)}
\displaystyle{u(x,x)=x^2, \ x>0, \ (2)}


Με χαρακτηριστικές καμπύλες

\displaystyle{\frac{dx}{x}=\frac{dy}{-y}=\frac{du}{u}}




Αν παρουμε το \displaystyle{\frac{dx}{x}=\frac{dy}{-y}\Leftrightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{-y}{x}}.

λαμβάνουμε την πρώτη λύση \displaystyle{yx=c_1}

Αν παρουμε τώρα το \displaystyle{\frac{du}{dx}=\frac{u}{x}}
μας δίνει \displaystyle{\frac{u}{x}=c_2}


Συνδυάζοντας τους τύπους προκύπτει
\displaystyle{c_2=G(c_1) \Leftrightarrow \frac{u}{x}=G(xy)\Leftrightarrow u=xG(yx)}


Τώρα, χρησιμοποιώντας την αρχική συνθήκη u(x,x)=x^2 μας δίνει

x^2=xG(x*x) \Leftrightarrow G(x^2)=x

Το ερώτημά μου λοιπόν είναι πώς θα μπορούσα να ελέγξω αν είναι καλά τοποθετημένο πριν το λύσω; Και αν ναι!!! Πώς; Κάποια πρόταση;


Με εκτίμηση,
Θανάσης Παρασκευόπουλος
Λέξεις Κλειδιά:
γραμμική-μδε
μερικές-διαφορικές-εξισώσεις
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης