Χιονόπτωση
Συντονιστής: Πρωτοπαπάς Λευτέρης
- Πρωτοπαπάς Λευτέρης
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 2936
- Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
- Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
- Επικοινωνία:
Χιονόπτωση
Χρόνια πολλά σε όλους.
Μια Χριστουγεννιάτικη.
α) Μια ημέρα άρχισε να πέφτει πυκνό χιόνι με σταθερό ρυθμό. Ένα εκχιονιστικό όχημα ξεκίνησε να καθαρίζει το
χιόνι στις 12:00 το μεσημέρι. Την πρώτη ώρα διένυσε , ενώ την δεύτερη ώρα μόνο .
Τι ώρα άρχισε να χιονίζει β) Μια άλλη ημέρα άρχισε πάλι να πέφτει πυκνό χιόνι με σταθερό ρυθμό (όχι κατ' ανάγκη ίσο με τον ρυθμό του
(α) Ερωτήματος). Τρία (ολόιδια) εκχιονιστικά οχήματα ξεκίνησαν
διαδοχικά να καθαρίζουν το χιόνι. Το πρώτο όχημα ξεκίνησε στις 12:00 το μεσημέρι. Το δεύτερο όχημα ξεκίνησε στις 13:00
και ακολούθησε την ίδια διαδρομή που ακολούθησε και το πρώτο. Το τρίτο όχημα ξεκίνησε στις 14:00 και
ακολούθησε και αυτό την ίδια διαδρομή που ακολούθησαν τα άλλα δύο. Αν και τα τρία οχήματα συναντήθηκαν ταυτόχρονα
και στο ίδιο σημείο, τι ώρα άρχισε να χιονίζει Πότε συναντήθηκαν;
Μια Χριστουγεννιάτικη.
α) Μια ημέρα άρχισε να πέφτει πυκνό χιόνι με σταθερό ρυθμό. Ένα εκχιονιστικό όχημα ξεκίνησε να καθαρίζει το
χιόνι στις 12:00 το μεσημέρι. Την πρώτη ώρα διένυσε , ενώ την δεύτερη ώρα μόνο .
Τι ώρα άρχισε να χιονίζει β) Μια άλλη ημέρα άρχισε πάλι να πέφτει πυκνό χιόνι με σταθερό ρυθμό (όχι κατ' ανάγκη ίσο με τον ρυθμό του
(α) Ερωτήματος). Τρία (ολόιδια) εκχιονιστικά οχήματα ξεκίνησαν
διαδοχικά να καθαρίζουν το χιόνι. Το πρώτο όχημα ξεκίνησε στις 12:00 το μεσημέρι. Το δεύτερο όχημα ξεκίνησε στις 13:00
και ακολούθησε την ίδια διαδρομή που ακολούθησε και το πρώτο. Το τρίτο όχημα ξεκίνησε στις 14:00 και
ακολούθησε και αυτό την ίδια διαδρομή που ακολούθησαν τα άλλα δύο. Αν και τα τρία οχήματα συναντήθηκαν ταυτόχρονα
και στο ίδιο σημείο, τι ώρα άρχισε να χιονίζει Πότε συναντήθηκαν;
Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Χιονόπτωση
Λευτέρη, το ωραίο αυτό πρόβλημα είναι αρκετά γνωστό. Για να μην γράφω λύση, μπορεί κανείς να ψάξει στο Google την φράση
snow plough problem
Θα βρει εξαιρετικό υλικό, και λίγο από την ιστορία του προβλήματος, το οποίο σήμερα βρ'ίσκεται στα περισσότερα βιβλία Διαφορικών Εξισώσεων. Π.χ. εδώ και εδώ. Κάπως πιο γρήγορη λύση εδώ.
Σίγουρα έχει εμφανιστεί και στο δικό μας φόρουμ.
snow plough problem
Θα βρει εξαιρετικό υλικό, και λίγο από την ιστορία του προβλήματος, το οποίο σήμερα βρ'ίσκεται στα περισσότερα βιβλία Διαφορικών Εξισώσεων. Π.χ. εδώ και εδώ. Κάπως πιο γρήγορη λύση εδώ.
Σίγουρα έχει εμφανιστεί και στο δικό μας φόρουμ.
- Πρωτοπαπάς Λευτέρης
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 2936
- Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
- Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Χιονόπτωση
Μιχάλη καλησπέρα και χρόνια πολλά!
Ναι πράγματι είναι γνωστό πρόβλημα (ειδικά το α ερώτημα που είναι λυμένο σε δύο από τις τρεις παραπομπές που έδωσες
και αντίστοιχο είναι λυμένο και στο ).
Το β ερώτημα έχει το δικό του ενδιαφέρον και δεν κυκλοφορεί ευρέως (η λύση του δεν υπάρχει σε κανένα λινκ από αυτά που πρότεινες,
αλλά υπάρχει η λογική της λύσης). Θα είχε ενδιαφέρον αν θέλει κάποιος να ασχοληθεί, γι' αυτό και το πρότεινα.
Αν σε εύλογο διάστημα δεν αναρτηθεί λύση θα το κάνω εγώ.
Λευτέρης
Ναι πράγματι είναι γνωστό πρόβλημα (ειδικά το α ερώτημα που είναι λυμένο σε δύο από τις τρεις παραπομπές που έδωσες
και αντίστοιχο είναι λυμένο και στο ).
Το β ερώτημα έχει το δικό του ενδιαφέρον και δεν κυκλοφορεί ευρέως (η λύση του δεν υπάρχει σε κανένα λινκ από αυτά που πρότεινες,
αλλά υπάρχει η λογική της λύσης). Θα είχε ενδιαφέρον αν θέλει κάποιος να ασχοληθεί, γι' αυτό και το πρότεινα.
Αν σε εύλογο διάστημα δεν αναρτηθεί λύση θα το κάνω εγώ.
Λευτέρης
Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
- Πρωτοπαπάς Λευτέρης
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 2936
- Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
- Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Χιονόπτωση
α) H διατύπωση του προβλήματος οφείλεται στον R. P. Agnew.
Έστω η συνάρτηση θέσης του εκχιονιστικού τη στιγμή (σε
το ύψος του χιονιού τη στιγμή (σε
o χρόνος σε ώρες, όπου ( η ώρα που άρχισε να χιονίζει).
Συνεπώς και με βάση τα δεδομένα ισχύουν
Τότε:
και αφού ισχύει
άρα
Επίσης:
οπότε
Αφού προκύπτει
και
Επιπλέον:
και διαιρώντας κατά μέλη προκύπτει:
όπου αφού δεκτή λύση είναι η
δηλαδή πριν τις άρχισε να χιονίζει, άρα περίπου στις
β) H διατύπωση του προβλήματος οφείλεται στον M. S. Klamkin.
Έστω η θέση του εκχιονιστικού τη στιγμή (σε
το ύψος του χιονιού που θα βρει μπροστά του το εκχιονιστικό τη στιγμή (σε
o χρόνος σε ώρες του εκχιονιστικού , όπου
( η ώρα που άρχισε να χιονίζει) και
η ταχύτητα του εκχιονιστικού τη στιγμή
\\Mε βάση τα δεδομένα ισχύουν και η χρονική στιγμή όπου
Για το πρώτο εκχιονιστικό.
Ισχύει ότι: και αφού ισχύει
άρα
Επίσης:
άρα
οπότε
Αφού προκύπτει
και
ή
Για το δεύτερο εκχιονιστικό.
Τη χρονική στιγμή όπου το πρώτο εκχιονιστικό περνά από το σημείο δεν υπάρχει χιόνι και ως εκ τούτου
έχουμε ότι
Επίσης:
και αφού ισχύει
άρα
Επίσης:
άρα
και από την (I) γίνεται
η οποία είναι γραμμική Σ.Δ.Ε. πρώτης τάξης με ολοκληρώνοντα παράγοντα οπότε η εξίσωση γίνεται
Αφού προκύπτει
Συνεπώς:
Για το τρίτο εκχιονιστικό.
Τη χρονική στιγμή όπου το πρώτο εκχιονιστικό περνά από το σημείο δεν υπάρχει χιόνι και ως εκ τούτου
έχουμε ότι
Επίσης:
και αφού ισχύει
άρα
Επίσης:
άρα
και από την (II) γίνεται
η οποία είναι γραμμική Σ.Δ.Ε. πρώτης τάξης με ολοκληρώνοντα παράγοντα οπότε η εξίσωση γίνεται
Αφού προκύπτει
Συνεπώς
Τα τρία εκχιονιστικά συγκρούονται όταν
οπότε από τις (I),(II),(III) βρίσκουμε
Συνεπώς άρχισε να χιονίζει μισή ώρα πριν τις δηλαδή στις
Έστω η συνάρτηση θέσης του εκχιονιστικού τη στιγμή (σε
το ύψος του χιονιού τη στιγμή (σε
o χρόνος σε ώρες, όπου ( η ώρα που άρχισε να χιονίζει).
Συνεπώς και με βάση τα δεδομένα ισχύουν
Τότε:
και αφού ισχύει
άρα
Επίσης:
οπότε
Αφού προκύπτει
και
Επιπλέον:
και διαιρώντας κατά μέλη προκύπτει:
όπου αφού δεκτή λύση είναι η
δηλαδή πριν τις άρχισε να χιονίζει, άρα περίπου στις
β) H διατύπωση του προβλήματος οφείλεται στον M. S. Klamkin.
Έστω η θέση του εκχιονιστικού τη στιγμή (σε
το ύψος του χιονιού που θα βρει μπροστά του το εκχιονιστικό τη στιγμή (σε
o χρόνος σε ώρες του εκχιονιστικού , όπου
( η ώρα που άρχισε να χιονίζει) και
η ταχύτητα του εκχιονιστικού τη στιγμή
\\Mε βάση τα δεδομένα ισχύουν και η χρονική στιγμή όπου
Για το πρώτο εκχιονιστικό.
Ισχύει ότι: και αφού ισχύει
άρα
Επίσης:
άρα
οπότε
Αφού προκύπτει
και
ή
Για το δεύτερο εκχιονιστικό.
Τη χρονική στιγμή όπου το πρώτο εκχιονιστικό περνά από το σημείο δεν υπάρχει χιόνι και ως εκ τούτου
έχουμε ότι
Επίσης:
και αφού ισχύει
άρα
Επίσης:
άρα
και από την (I) γίνεται
η οποία είναι γραμμική Σ.Δ.Ε. πρώτης τάξης με ολοκληρώνοντα παράγοντα οπότε η εξίσωση γίνεται
Αφού προκύπτει
Συνεπώς:
Για το τρίτο εκχιονιστικό.
Τη χρονική στιγμή όπου το πρώτο εκχιονιστικό περνά από το σημείο δεν υπάρχει χιόνι και ως εκ τούτου
έχουμε ότι
Επίσης:
και αφού ισχύει
άρα
Επίσης:
άρα
και από την (II) γίνεται
η οποία είναι γραμμική Σ.Δ.Ε. πρώτης τάξης με ολοκληρώνοντα παράγοντα οπότε η εξίσωση γίνεται
Αφού προκύπτει
Συνεπώς
Τα τρία εκχιονιστικά συγκρούονται όταν
οπότε από τις (I),(II),(III) βρίσκουμε
Συνεπώς άρχισε να χιονίζει μισή ώρα πριν τις δηλαδή στις
Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες