ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΜΒΑΔΟΥ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟΥ ΜΕ 3 ΙΣΕΣ ΠΛΕΥΡΕΣ

Συντονιστής: Πρωτοπαπάς Λευτέρης

ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΜΠΑΦΑΣ
Δημοσιεύσεις: 23
Εγγραφή: Τρί Απρ 25, 2017 7:15 pm

ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΜΒΑΔΟΥ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟΥ ΜΕ 3 ΙΣΕΣ ΠΛΕΥΡΕΣ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΜΠΑΦΑΣ » Τρί Μάιος 02, 2017 12:31 pm

Να αποδειχθεί ότι ένα αρθρωτό κυρτό τετράπλευρο με 3 ίσες πλευρές αποκτά μέγιστο εμβαδόν όταν γίνει ισοσκελές τραπέζιο.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3961
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΜΒΑΔΟΥ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟΥ ΜΕ 3 ΙΣΕΣ ΠΛΕΥΡΕΣ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τρί Μάιος 02, 2017 12:49 pm

ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΜΠΑΦΑΣ έγραψε:Να αποδειχθεί ότι ένα αρθρωτό κυρτό τετράπλευρο με 3 ίσες πλευρές αποκτά μέγιστο εμβαδόν όταν γίνει ισοσκελές τραπέζιο.
Γιώργο καλημέρα και καλοσώρισες στο :logo:

Για το πρόβλημα που έχεις θέσει έχω αρκετούς ενδιασμούς :shock:


Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4002
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΜΒΑΔΟΥ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟΥ ΜΕ 3 ΙΣΕΣ ΠΛΕΥΡΕΣ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Μάιος 02, 2017 2:10 pm

Εγώ πάλι δε καταλαβαίνω τι λέει η εκφώνηση . Τι είναι το αρθρωτό τετράπλευρο ;


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 986
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΜΒΑΔΟΥ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟΥ ΜΕ 3 ΙΣΕΣ ΠΛΕΥΡΕΣ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Τρί Μάιος 02, 2017 2:32 pm

Η αλήθεια είναι ούτε εγώ ξέρω την έννοια του αρθρωτού τετραπλεύρου. Αλλά αν δεν έχει διαφορά με το κοινό κυρτό τετράπλευρο τότε από τον τύπο Brahmagupta, έχουμε ότι το μέγιστο τετράπλευρο θα είναι εγράψιμο και αφού έχει δυο μη διαδοχικές πλευρές ίσες θα είναι τραπέζιο. Ενδιαφέρον έχει να δούμε πoιό από όλα τα τραπέζια είναι αυτό. Νομίζω έχει ξανα συζητηθεί στο :logo: .


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4002
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΜΒΑΔΟΥ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟΥ ΜΕ 3 ΙΣΕΣ ΠΛΕΥΡΕΣ

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Μάιος 02, 2017 2:59 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:Νομίζω έχει ξανα συζητηθεί στο :logo: .
Μάλλον λες για το θέμα που βρίσκεται εδώ.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10881
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΜΒΑΔΟΥ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟΥ ΜΕ 3 ΙΣΕΣ ΠΛΕΥΡΕΣ

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Μάιος 05, 2017 3:02 pm

τραπέζιο.png
τραπέζιο.png (13.05 KiB) Προβλήθηκε 1449 φορές
Έστω a το μήκος των AC,CD,DB . Προφανώς το εμβαδόν του τετραπλεύρου είναι :


E=\dfrac{3a^2\sqrt{3}}{4} . Αυτό είναι το μέγιστο εμβαδόν τετραπλεύρου με τρεις ίσες πλευρές

και προκύπτει αν αξιοποιήσουμε την "ημι-αποδεδειγμένη" εικασία εδώ . Αρκετά μετά

τη δημοσίευση της εικασίας αυτής , βρήκα σε κάποιο site μία απόδειξή της ...


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2640
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΜΒΑΔΟΥ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟΥ ΜΕ 3 ΙΣΕΣ ΠΛΕΥΡΕΣ

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Μάιος 05, 2017 4:15 pm

ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΜΠΑΦΑΣ έγραψε:Να αποδειχθεί ότι ένα αρθρωτό κυρτό τετράπλευρο με 3 ίσες πλευρές αποκτά μέγιστο εμβαδόν όταν γίνει ισοσκελές τραπέζιο.
Θα παραλείψω τις πράξεις.

Εστω ότι το μήκος των τριών πλευρών ότι είναι 1

Μπορούμε να θεωρήσουμε ότι οι κορυφές του τετραπλεύρου είναι

(0,0),(\cos a,\sin a),(1+\cos b,\sin b),(1,0)

με 0< a,b< \pi

Το διπλάσιο του εμβαδού του είναι

f(a,b)=\sin a+\sin b+\sin (a-b)

μεγιστοποιώντας την συνάρτηση σαν συνάρτηση δύο μεταβλητών παίρνουμε ότι

b=\frac{\pi }{3},a=\frac{2\pi }{3}

που δίνει ισοσκελές τραπέζιο.


Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2676
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΜΒΑΔΟΥ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟΥ ΜΕ 3 ΙΣΕΣ ΠΛΕΥΡΕΣ

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Παρ Μάιος 05, 2017 5:20 pm

KARKAR έγραψε:τραπέζιο.png Έστω a το μήκος των AC,CD,DB . Προφανώς το εμβαδόν του τετραπλεύρου είναι :


E=\dfrac{3a^2\sqrt{3}}{4} . Αυτό είναι το μέγιστο εμβαδόν τετραπλεύρου με τρεις ίσες πλευρές

και προκύπτει αν αξιοποιήσουμε την "ημι-αποδεδειγμένη" εικασία εδώ . Αρκετά μετά

τη δημοσίευση της εικασίας αυτής , βρήκα σε κάποιο site μία απόδειξή της ...
Θανάση γιατί "ημι-αποδεδειγμένη" η εικασία; Νομίζω ότι την είχαμε αποδείξει πλήρως!


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10881
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΜΒΑΔΟΥ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟΥ ΜΕ 3 ΙΣΕΣ ΠΛΕΥΡΕΣ

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Μάιος 05, 2017 10:12 pm

Γιώργο είχα κάποιους ενδοιασμούς για την πληρότητα της απόδειξης . Είχα

-αργότερα- ψάξει το θέμα και είχα βρει την δημοσίευση αυτή , της οποίας

η βασική ιδέα είναι μεγαλοπρεπώς απλή ! Τώρα δεν υπάρχει καμιά αμφιβολία ...


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 986
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΜΒΑΔΟΥ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟΥ ΜΕ 3 ΙΣΕΣ ΠΛΕΥΡΕΣ

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Παρ Μάιος 05, 2017 10:40 pm

Για το αρχικό πρόβλημα...

Μπορούμε να θεωρήσουμε το συμμετρικό τετράπλευρο ως προς την τέταρτη πλευρά. Τότε σχηματίζεται ένα κυρτό εξάγωνο με διπλάσιο εμβαδόν. Αρκεί να μεγιστοποιήσουμε το εμβαδόν αυτού του εξαγώνου, που έχει σταθερή περίμετρο. Από όλα τα εξάγωνα όμως με δεδομένη περίμετρο το κανονικό έχει το μέγιστο εμβαδόν. Αυτή η λύση ικανοποιεί τους περιορισμούς και του δικού μας προβλήματος. Οπότε μεγαλύτερο εμβαδόν δεν μπορούμε να πετύχουμε. Έτσι το μέγιστο τετράπλευρο είναι το ισοσκελές τραπέζιο, το "μισό" ενός κανονικού εξαγώνου.


ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΜΠΑΦΑΣ
Δημοσιεύσεις: 23
Εγγραφή: Τρί Απρ 25, 2017 7:15 pm

Re: ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΜΒΑΔΟΥ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟΥ ΜΕ 3 ΙΣΕΣ ΠΛΕΥΡΕΣ

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΜΠΑΦΑΣ » Δευ Μάιος 08, 2017 12:11 pm

Η λύση του προβλήματος δεν μπορεί να είναι συγκεκριμένη τιμή του εμβαδού,( που αν υπάρχει θα πρέπει να λαμβάνει οπόψη και την τιμή της τέταρτης πλευράς), αλλά απόδειξη με τη χρήση διαφορικού λογισμού ότι το εμβαδόν μεγιστοποιείται όταν γωνία Α γίνεται ίση με τη γωνία Δ, αν το τετράπλευρο είναι ΑΒΓΔ με πλευρές ΑΒ=ΒΓ=ΓΔ.
Οσον αφορά το αρθρωτό εννοώ ότι όλες οι κορυφές των γωνιών είναι αρθρώσεις που επιτρέπουν ,αν οι πλευρές είναι ράβδοι ενωμένες με βίδες στα άκρα τους (δυστυχώς συγχωρέστε μου που σκέφτομαι σαν Μηχανικός πάντα) ,να μπορούμε μεταβάλλουμε εύκολα το σχήμα του τετραπλεύρου.
Γ. Μπάφας


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10881
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΜΒΑΔΟΥ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟΥ ΜΕ 3 ΙΣΕΣ ΠΛΕΥΡΕΣ

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Μάιος 09, 2017 1:01 pm

Πράγματι Γιώργο , στην απάντησή μου θεώρησα ότι μπορούμε να επιλέξουμε εμείς την τέταρτη

πλευρά , οπότε το μέγιστο βρίσκεται κατά τα παραπάνω . Για δεδομένη όμως και την τέταρτη

πλευρά , αφού η μεγιστοποίηση επιτυγχάνεται με το κυκλικό τετράπλευρο , ( για μια απόδειξη

δες εδώ -ποιος Ανδρέας ; ) , είναι πλέον προφανές ότι το τετράπλευρο αυτό θα είναι ισοσκελές

τραπέζιο , αφού δύο απέναντι πλευρές του θα είναι ίσες ( γνωστή εφαρμογή από την Α' Λυκείου ) .

Νομίζω ότι στο forum υπάρχει και μια απόδειξη του Στάθη Κούτρα προ πενταετίας :?:

Μια ακόμη απόδειξη εδώ


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες