Τοπικά ελάχιστα με lagrange

Συντονιστής: Πρωτοπαπάς Λευτέρης

crimjoy
Δημοσιεύσεις: 10
Εγγραφή: Πέμ Σεπ 01, 2016 5:23 pm

Τοπικά ελάχιστα με lagrange

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από crimjoy » Πέμ Σεπ 01, 2016 9:07 pm

Θέλω να βρώ με Lagrange όλα τα τοπικά ελάχιστα της συνάρτησης f(x_{1},x_{2})=x_{1}*x_{2}^2

με περιορισμό g(x_{1},x_{2}) =x_{1}^2+x_{2}^2 \leq 5
και έχω κάνει
L=f + \lambda *g
\partial L/\partial x_{1} = x_{2}^2+2\lambda x_{1}=0\\ \partial L/\partial x_{2} = 2*x_{1}*x_{2} + 2*\lambda *x_{2}=0\\ \partial L/\partial \lambda =x_{1}^2+x_{2}^2-5=0

Αλλά εδώ κόλλησα και δεν μπορώ να βρω το \lambda


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2778
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Τοπικά ελάχιστα με lagrange

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Πέμ Σεπ 01, 2016 11:07 pm

crimjoy έγραψε:Θέλω να βρω με Lagrange όλα τα τοπικά ελάχιστα της συνάρτησης f(x_{1},x_{2})=x_{1}*x_{2}^2

με περιορισμό g(x_{1},x_{2}) =x_{1}^2+x_{2}^2 \leq 5...
Η μέθοδος Lagrange "δουλεύει" μόνο πάνω στο σύνορο x_{1}^2+x_{2}^2=5 του δίσκου x_{1}^2+x_{2}^2 \leq 5. Επομένως αυτό που ζητάς είναι:

1) Εύρεση ακροτάτων της συνάρτησης f(x_{1},x_{2})=x_{1}\,x_{2}^2 με την μέθοδο Lagrange με περιορισμό x_{1}^2+x_{2}^2=5 ; ή

2) Εύρεση ακροτάτων της συνάρτησης f(x_{1},x_{2})=x_{1}\,x_{2}^2 στον δίσκο x_{1}^2+x_{2}^2\leq5 ;
(Στην δεύτερη περίπτωση πρέπει να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος Lagrange μαζί με άλλη μέθοδο εύρεσης ακροτάτων.)


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
crimjoy
Δημοσιεύσεις: 10
Εγγραφή: Πέμ Σεπ 01, 2016 5:23 pm

Re: Τοπικά ελάχιστα με lagrange

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από crimjoy » Πέμ Σεπ 01, 2016 11:53 pm

grigkost έγραψε:
crimjoy έγραψε:Θέλω να βρω με Lagrange όλα τα τοπικά ελάχιστα της συνάρτησης f(x_{1},x_{2})=x_{1}*x_{2}^2

με περιορισμό g(x_{1},x_{2}) =x_{1}^2+x_{2}^2 \leq 5...
Η μέθοδος Lagrange "δουλεύει" μόνο πάνω στο σύνορο x_{1}^2+x_{2}^2=5 του δίσκου x_{1}^2+x_{2}^2 \leq 5. Επομένως αυτό που ζητάς είναι:

1) Εύρεση ακροτάτων της συνάρτησης f(x_{1},x_{2})=x_{1}\,x_{2}^2 με την μέθοδο Lagrange με περιορισμό x_{1}^2+x_{2}^2=5 ; ή

2) Εύρεση ακροτάτων της συνάρτησης f(x_{1},x_{2})=x_{1}\,x_{2}^2 στον δίσκο x_{1}^2+x_{2}^2\leq5 ;
(Στην δεύτερη περίπτωση πρέπει να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος Lagrange μαζί με άλλη μέθοδο εύρεσης ακροτάτων.)
Ευχαριστώ για την απάντηση.Το πρόβλημα διατυπώνονταν όπως το έγραψα , ποια άλλη μέθοδο μπορώ να χρησιμοποιήσω ?
Αρχικά προσπάθησα να βρω ελάχιστο χωρίς περιορισμούς αλλά κόλλησα σε αυτό

\partial f/\partial x_{1} = x^2=0\\ \partial f/ \partial x_{2}=2*x_{1}*x_{2} \\x2=0\\x1=; \\ hessian = \begin{bmatrix} 0 & 2*x_{2} \\ 2*x_{2}&2*x_{1} \end{bmatrix}

μετά αυτό που έγραψα στην αρχή το προχώρησα ως εξής


L=f + \lambda *g \\ \partial L/\partial x_{1} = x_{2}^2+2\lambda x_{1}=0 (1)\\ \partial L/\partial x_{2} = 2*x_{1}*x_{2} + 2*\lambda *x_{2}=0 (2)\\ \partial L/\partial \lambda =x_{1}^2+x_{2}^2-5=0 (3) \\ (2)=> \lambda =-x_{1} \\(1)=>x_{2}^2=2*x_{1}^2 \\(3)=>x_{1}^2=5/3=>x1=\pm \sqrt[2]{5/3} \\x_{2}=\pm \sqrt[2]{10/3} \\\lambda =-\pm\sqrt[2]{5/3} => x_{1}=-\sqrt[2]{5/3} \\ \\B=\begin{bmatrix} 0 &-2*\sqrt[2]{5/3} &2*\pm \sqrt[2]{10/3} \\ -2*\sqrt[2]{5/3} & 2*\sqrt[2]{5/3} &2*\pm \sqrt[2]{10/3} \\ 2*\pm \sqrt[2]{10/3}& 2*\pm \sqrt[2]{10/3} & 0 \end{bmatrix} \\ \\det(B_{3x3})=-103.28 \\det(B_{2x2})=-20/30


Άρα έχει ελάχιστα σε αυτά τα 2 σημεία ?


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2778
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Τοπικά ελάχιστα με lagrange

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Παρ Σεπ 02, 2016 12:27 am

crimjoy έγραψε:
grigkost έγραψε:
crimjoy έγραψε:Θέλω να βρω με Lagrange όλα τα τοπικά ελάχιστα της συνάρτησης f(x_{1},x_{2})=x_{1}*x_{2}^2

με περιορισμό g(x_{1},x_{2}) =x_{1}^2+x_{2}^2 \leq 5...
Η μέθοδος Lagrange "δουλεύει" μόνο πάνω στο σύνορο x_{1}^2+x_{2}^2=5 του δίσκου x_{1}^2+x_{2}^2 \leq 5. Επομένως αυτό που ζητάς είναι:

1) Εύρεση ακροτάτων της συνάρτησης f(x_{1},x_{2})=x_{1}\,x_{2}^2 με την μέθοδο Lagrange με περιορισμό x_{1}^2+x_{2}^2=5 ; ή

2) Εύρεση ακροτάτων της συνάρτησης f(x_{1},x_{2})=x_{1}\,x_{2}^2 στον δίσκο x_{1}^2+x_{2}^2\leq5 ;
(Στην δεύτερη περίπτωση πρέπει να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος Lagrange μαζί με άλλη μέθοδο εύρεσης ακροτάτων.)
Ευχαριστώ για την απάντηση.Το πρόβλημα διατυπώνονταν όπως το έγραψα , ποια άλλη μέθοδο μπορώ να χρησιμοποιήσω ?
Αρχικά προσπάθησα να βρω ελάχιστο χωρίς περιορισμούς αλλά κόλλησα σε αυτό

\partial f/\partial x_{1} = x^2=0\\ \partial f/ \partial x_{2}=2*x_{1}*x_{2} \\x2=0\\x1=; \\ hessian = \begin{bmatrix} 0 & 2*x_{2} \\ 2*x_{2}&2*x_{1} \end{bmatrix}

μετά αυτό που έγραψα στην αρχή το προχώρησα ως εξής


L=f + \lambda *g \\ \partial L/\partial x_{1} = x_{2}^2+2\lambda x_{1}=0 (1)\\ \partial L/\partial x_{2} = 2*x_{1}*x_{2} + 2*\lambda *x_{2}=0 (2)\\ \partial L/\partial \lambda =x_{1}^2+x_{2}^2-5=0 (3) \\ (2)=> \lambda =-x_{1} \\(1)=>x_{2}^2=2*x_{1}^2 \\(3)=>x_{1}^2=5/3=>x1=\pm \sqrt[2]{5/3} \\x_{2}=\pm \sqrt[2]{10/3} \\\lambda =-\pm\sqrt[2]{5/3} => x_{1}=-\sqrt[2]{5/3} \\ \\B=\begin{bmatrix} 0 &-2*\sqrt[2]{5/3} &2*\pm \sqrt[2]{10/3} \\ -2*\sqrt[2]{5/3} & 2*\sqrt[2]{5/3} &2*\pm \sqrt[2]{10/3} \\ 2*\pm \sqrt[2]{10/3}& 2*\pm \sqrt[2]{10/3} & 0 \end{bmatrix} \\ \\det(B_{3x3})=-103.28 \\det(B_{2x2})=-20/30


Άρα έχει ελάχιστα σε αυτά τα 2 σημεία ?
Εδώ έχει συμβεί να φτάσεις σχεδόν στο σωστό αποτέλεσμα, αλλά με αρκετή τύχη. Να το εξηγήσω:

1) Όπως ανέφερα και παραπάνω, η μέθοδος Lagrange "λειτουργεί" μόνο για το σύνορο του δίσκου. Για την εύρεση ακροτάτων στον ανοικτό δίσκο x_{1}^2+x_{2}^2<5 βρίσκουμε τις ρίζες του {\rm{grad}}\,f και με την βοήθεια του Εσσιανού διαπιστώνουμε αν σε κάποια από αυτές τις ρίζες η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο καθώς και το είδος του.
2) Αφού βρούμε τα ακρότατα στο εσωτερικό του δίσκου πρέπει με την μέθοδο Lagrange να εντοπίσουμε πιθανά ακρότατα στο σύνορο x_{1}^2+x_{2}^2=5.
3) Κατόπιν πρέπει να συνδυάσουμε τα αποτελέσματα που βρήκαμε με τις δύο μεθόδους για να βρούμε τα ακρότατα στον κλειστό δίσκο x_{1}^2+x_{2}^2\leq5.

Γενικά η εύρεση ακροτάτων συναρτήσεων διανυσματικής μεταβλητής σε κλειστό σύνολο -δηλαδή σε σύνολο με σύνορο- δεν είναι εύκολη διαδικασία. Αν η συνάρτηση είναι σχετικά απλή, τότε ο συνδυασμός των δύο μεθόδων "λειτουργεί" χωρίς πρόβλημα. Στην συγκεκριμένη περίπτωση το γράφημα της συνάρτησης είναι το
[attachment=1]Lagrange_mult.png[/attachment][attachment=0]Lagrange_mult_II.png[/attachment] και όπως μπορείς να διαπιστώσεις "ιδίοις όμμασι" χρειάζεται αρκετή διερεύνηση για να βρεθούν τα ακρότατα. Πάντως τα τοπικά ελάχιστα είναι για τα (-\sqrt{5/3},y) (πρέπει να βρεθούν και τα αντίστοιχα y), (x,0). (πρέπει να βρεθούν και τα αντίστοιχα x)
Συνημμένα
Lagrange_mult_II.png
Lagrange_mult_II.png (21.26 KiB) Προβλήθηκε 1514 φορές
Lagrange_mult.png
Lagrange_mult.png (22.95 KiB) Προβλήθηκε 1536 φορές


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1393
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Τοπικά ελάχιστα με lagrange

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Παρ Σεπ 02, 2016 10:21 am

Πάντως η χρήση πολικών συντεταγμένων θα σε εξυπηρετούσε ιδιαίτερα. Φαίνονται με ελάχιστη διερεύνηση τα ακρότατα στο εσωτερικό του δίσκου και σου μένει μόνο το σύνορο x_1^2 + x_2^2 = 5 όπου έχεις μόνο μια μεταβλητή.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 908
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Τοπικά ελάχιστα με lagrange

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Παρ Σεπ 02, 2016 11:01 am

Νομίζω μπορεί να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος Karush–Kuhn–Tucker π.χ εδώ. Θα πρέπει δηλαδή να ελεγχθεί και το πρόσημο του \lambda.


crimjoy
Δημοσιεύσεις: 10
Εγγραφή: Πέμ Σεπ 01, 2016 5:23 pm

Re: Τοπικά ελάχιστα με lagrange

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από crimjoy » Παρ Σεπ 02, 2016 12:01 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:Νομίζω μπορεί να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος Karush–Kuhn–Tucker π.χ εδώ. Θα πρέπει δηλαδή να ελεγχθεί και το πρόσημο του \lambda.
το λ απόσο ξέρω πρέπει να είναι θετικό
dement έγραψε:Πάντως η χρήση πολικών συντεταγμένων θα σε εξυπηρετούσε ιδιαίτερα. Φαίνονται με ελάχιστη διερεύνηση τα ακρότατα στο εσωτερικό του δίσκου και σου μένει μόνο το σύνορο x_1^2 + x_2^2 = 5 όπου έχεις μόνο μια μεταβλητή.
Δυστυχώς δεν είμαι καθόλου εξοικειωμένος με πολικές
grigkost έγραψε:
crimjoy έγραψε:
grigkost έγραψε:
crimjoy έγραψε:Θέλω να βρω με Lagrange όλα τα τοπικά ελάχιστα της συνάρτησης f(x_{1},x_{2})=x_{1}*x_{2}^2

με περιορισμό g(x_{1},x_{2}) =x_{1}^2+x_{2}^2 \leq 5...
Η μέθοδος Lagrange "δουλεύει" μόνο πάνω στο σύνορο x_{1}^2+x_{2}^2=5 του δίσκου x_{1}^2+x_{2}^2 \leq 5. Επομένως αυτό που ζητάς είναι:

1) Εύρεση ακροτάτων της συνάρτησης f(x_{1},x_{2})=x_{1}\,x_{2}^2 με την μέθοδο Lagrange με περιορισμό x_{1}^2+x_{2}^2=5 ; ή

2) Εύρεση ακροτάτων της συνάρτησης f(x_{1},x_{2})=x_{1}\,x_{2}^2 στον δίσκο x_{1}^2+x_{2}^2\leq5 ;
(Στην δεύτερη περίπτωση πρέπει να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος Lagrange μαζί με άλλη μέθοδο εύρεσης ακροτάτων.)
Ευχαριστώ για την απάντηση.Το πρόβλημα διατυπώνονταν όπως το έγραψα , ποια άλλη μέθοδο μπορώ να χρησιμοποιήσω ?
Αρχικά προσπάθησα να βρω ελάχιστο χωρίς περιορισμούς αλλά κόλλησα σε αυτό

\partial f/\partial x_{1} = x^2=0\\ \partial f/ \partial x_{2}=2*x_{1}*x_{2} \\x2=0\\x1=; \\ hessian = \begin{bmatrix} 0 & 2*x_{2} \\ 2*x_{2}&2*x_{1} \end{bmatrix}

μετά αυτό που έγραψα στην αρχή το προχώρησα ως εξής


L=f + \lambda *g \\ \partial L/\partial x_{1} = x_{2}^2+2\lambda x_{1}=0 (1)\\ \partial L/\partial x_{2} = 2*x_{1}*x_{2} + 2*\lambda *x_{2}=0 (2)\\ \partial L/\partial \lambda =x_{1}^2+x_{2}^2-5=0 (3) \\ (2)=> \lambda =-x_{1} \\(1)=>x_{2}^2=2*x_{1}^2 \\(3)=>x_{1}^2=5/3=>x1=\pm \sqrt[2]{5/3} \\x_{2}=\pm \sqrt[2]{10/3} \\\lambda =-\pm\sqrt[2]{5/3} => x_{1}=-\sqrt[2]{5/3} \\ \\B=\begin{bmatrix} 0 &-2*\sqrt[2]{5/3} &2*\pm \sqrt[2]{10/3} \\ -2*\sqrt[2]{5/3} & 2*\sqrt[2]{5/3} &2*\pm \sqrt[2]{10/3} \\ 2*\pm \sqrt[2]{10/3}& 2*\pm \sqrt[2]{10/3} & 0 \end{bmatrix} \\ \\det(B_{3x3})=-103.28 \\det(B_{2x2})=-20/30


Άρα έχει ελάχιστα σε αυτά τα 2 σημεία ?
Εδώ έχει συμβεί να φτάσεις σχεδόν στο σωστό αποτέλεσμα, αλλά με αρκετή τύχη. Να το εξηγήσω:

1) Όπως ανέφερα και παραπάνω, η μέθοδος Lagrange "λειτουργεί" μόνο για το σύνορο του δίσκου. Για την εύρεση ακροτάτων στον ανοικτό δίσκο x_{1}^2+x_{2}^2<5 βρίσκουμε τις ρίζες του {\rm{grad}}\,f και με την βοήθεια του Εσσιανού διαπιστώνουμε αν σε κάποια από αυτές τις ρίζες η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο καθώς και το είδος του.
2) Αφού βρούμε τα ακρότατα στο εσωτερικό του δίσκου πρέπει με την μέθοδο Lagrange να εντοπίσουμε πιθανά ακρότατα στο σύνορο x_{1}^2+x_{2}^2=5.
3) Κατόπιν πρέπει να συνδυάσουμε τα αποτελέσματα που βρήκαμε με τις δύο μεθόδους για να βρούμε τα ακρότατα στον κλειστό δίσκο x_{1}^2+x_{2}^2\leq5.

Γενικά η εύρεση ακροτάτων συναρτήσεων διανυσματικής μεταβλητής σε κλειστό σύνολο -δηλαδή σε σύνολο με σύνορο- δεν είναι εύκολη διαδικασία. Αν η συνάρτηση είναι σχετικά απλή, τότε ο συνδυασμός των δύο μεθόδων "λειτουργεί" χωρίς πρόβλημα. Στην συγκεκριμένη περίπτωση το γράφημα της συνάρτησης είναι το
[attachment=1]Lagrange_mult.png[/attachment][attachment=0]Lagrange_mult_II.png[/attachment] και όπως μπορείς να διαπιστώσεις "ιδίοις όμμασι" χρειάζεται αρκετή διερεύνηση για να βρεθούν τα ακρότατα. Πάντως τα τοπικά ελάχιστα είναι για τα (-\sqrt{5/3},y) (πρέπει να βρεθούν και τα αντίστοιχα y), (x,0). (πρέπει να βρεθούν και τα αντίστοιχα x)
Ευχαριστώ για την εκτεταμένη απάντηση .
Για το εσωτερικό του δίσκου αφού βρίσκω \\ hessian = \begin{bmatrix} 0 & 2*x_{2} \\ 2*x_{2}&2*x_{1} \end{bmatrix}

όποιο και να είναι το x_{1} για x_{2}=0 ο hessian δεν μπορεί να είναι θετικά ορισμένος άρα δεν έχω ελάχιστο .


Για την ισότητα νομίζω πως βγήκαν τα σημεία (-\sqrt{5/3},\sqrt{10/3}) και (-\sqrt{5/3},-\sqrt{10/3})
Παρακαλώ διορθώστε με αν έχω λάθος


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2778
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Τοπικά ελάχιστα με lagrange

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Παρ Σεπ 02, 2016 12:12 pm

crimjoy έγραψε:Για το εσωτερικό του δίσκου αφού βρίσκω \\ hessian = \begin{bmatrix} 0 & 2*x_{2} \\ 2*x_{2}&2*x_{1} \end{bmatrix}

όποιο και να είναι το x_{1} για x_{2}=0 ο hessian δεν μπορεί να είναι θετικά ορισμένος άρα δεν έχω ελάχιστο .

Για την ισότητα νομίζω πως βγήκαν τα σημεία (-\sqrt{5/3},\sqrt{10/3}) και (-\sqrt{5/3},-\sqrt{10/3})
Παρακαλώ διορθώστε με αν έχω λάθος
1) Τα σημεία (-\sqrt{5/3},\sqrt{10/3}) και (-\sqrt{5/3},-\sqrt{10/3}) είναι τοπικά ελάχιστα (στην πραγματικότητα είναι ολικά).

2) Ο Εσσιανός πίνακας είναι θετικά ημιορισμένος (για να αποφανθούμε αρνητικά πρέπει ο Εσσιανός να έχει και θετικές και αρνητικές ιδιοτιμές. Στην συγκεκριμένη περίπτωση οι ιδιοτιμές είναι 0 και 2x) σε κάθε σημείο (x,0)\,, \; -\sqrt{5}\leq x\leq \sqrt{5}. Επομένως δεν μπορούμε να αποφανθούμε αν σε αυτά τα σημεία η συνάρτηση παρουσιάζει ή δεν παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο. Μπορείς να βρεις κάποιον άλλο τρόπο;

(Υπόδειξη: Χρησιμοποίησε τα γραφήματα της συνάρτησης f και κατόπιν απόδειξε αλγεβρικά αυτό που παρατηρείς.)


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
crimjoy
Δημοσιεύσεις: 10
Εγγραφή: Πέμ Σεπ 01, 2016 5:23 pm

Re: Τοπικά ελάχιστα με lagrange

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από crimjoy » Παρ Σεπ 02, 2016 1:28 pm

grigkost έγραψε:
crimjoy έγραψε:Για το εσωτερικό του δίσκου αφού βρίσκω \\ hessian = \begin{bmatrix} 0 & 2*x_{2} \\ 2*x_{2}&2*x_{1} \end{bmatrix}

όποιο και να είναι το x_{1} για x_{2}=0 ο hessian δεν μπορεί να είναι θετικά ορισμένος άρα δεν έχω ελάχιστο .

Για την ισότητα νομίζω πως βγήκαν τα σημεία (-\sqrt{5/3},\sqrt{10/3}) και (-\sqrt{5/3},-\sqrt{10/3})
Παρακαλώ διορθώστε με αν έχω λάθος
1) Τα σημεία (-\sqrt{5/3},\sqrt{10/3}) και (-\sqrt{5/3},-\sqrt{10/3}) είναι τοπικά ελάχιστα (στην πραγματικότητα είναι ολικά).

2) Ο Εσσιανός πίνακας είναι θετικά ημιορισμένος (για να αποφανθούμε αρνητικά πρέπει ο Εσσιανός να έχει και θετικές και αρνητικές ιδιοτιμές. Στην συγκεκριμένη περίπτωση οι ιδιοτιμές είναι 0 και 2x) σε κάθε σημείο (x,0)\,, \; -\sqrt{5}\leq x\leq \sqrt{5}. Επομένως δεν μπορούμε να αποφανθούμε αν σε αυτά τα σημεία η συνάρτηση παρουσιάζει ή δεν παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο. Μπορείς να βρεις κάποιον άλλο τρόπο;

(Υπόδειξη: Χρησιμοποίησε τα γραφήματα της συνάρτησης f και κατόπιν απόδειξε αλγεβρικά αυτό που παρατηρείς.)
Θα μπορούσαμε να πούμε πως ισχύει για όλα τα χ στο διάστημα -\sqrt{5}\leq x\leq \sqrt{5} ;


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2778
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Τοπικά ελάχιστα με lagrange

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Παρ Σεπ 02, 2016 2:28 pm

crimjoy έγραψε:..Θα μπορούσαμε να πούμε πως ισχύει για όλα τα χ στο διάστημα -\sqrt{5}\leq x\leq \sqrt{5} ;
Σε κάθε σημείο (x_0,0)\,,\; -\sqrt{5}\leqslant x_0\leqslant \sqrt{5} έχουμε f(x_0,0)=0. Όμως για κάθε x_0\in\big(0,\sqrt{5}\,\big] υπάρχει μια μικρή περιοχή U(x_0,0) στην οποία η f(x,y)=x\,y^2 παίρνει μόνο θετικές τιμές εκτός από το σημείο (x_0,0) όπου μηδενίζεται. Επομένως σε όλα τα σημεία (x_0,0)\,,\; x_0\in\big(0,\sqrt{5}\,\big] η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο.
Αντίθετα για για κάθε x_0\in\big[-\sqrt{5},\,0\big] υπάρχει μια μικρή περιοχή U(x_0,0) στην οποία η f(x,y)=x\,y^2 παίρνει αρνητικές τιμές εκτός από το σημείο (x_0,0) όπου μηδενίζεται. Επομένως σε αυτά τα σημεία η f δεν παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
crimjoy
Δημοσιεύσεις: 10
Εγγραφή: Πέμ Σεπ 01, 2016 5:23 pm

Re: Τοπικά ελάχιστα με lagrange

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από crimjoy » Παρ Σεπ 02, 2016 3:07 pm

grigkost έγραψε:
crimjoy έγραψε:..Θα μπορούσαμε να πούμε πως ισχύει για όλα τα χ στο διάστημα -\sqrt{5}\leq x\leq \sqrt{5} ;
Σε κάθε σημείο (x_0,0)\,,\; -\sqrt{5}\leqslant x_0\leqslant \sqrt{5} έχουμε f(x_0,0)=0. Όμως για κάθε x_0\in\big(0,\sqrt{5}\,\big] υπάρχει μια μικρή περιοχή U(x_0,0) στην οποία η f(x,y)=x\,y^2 παίρνει μόνο θετικές τιμές εκτός από το σημείο (x_0,0) όπου μηδενίζεται. Επομένως σε όλα τα σημεία (x_0,0)\,,\; x_0\in\big(0,\sqrt{5}\,\big] η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο.
Αντίθετα για για κάθε x_0\in\big[-\sqrt{5},\,0\big] υπάρχει μια μικρή περιοχή U(x_0,0) στην οποία η f(x,y)=x\,y^2 παίρνει αρνητικές τιμές εκτός από το σημείο (x_0,0) όπου μηδενίζεται. Επομένως σε αυτά τα σημεία η f δεν παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο.
Σε ευχαριστώ γίνεται αντιληπτό αυτό που λες, πηγάζει από κάποιο θεώρημα ή είναι γενικός εμπειρικός κανόνας όταν μας βγαίνει 0 να το κοιτάμε και λίγο πιο δίπλα ?


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2778
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Τοπικά ελάχιστα με lagrange

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Παρ Σεπ 02, 2016 3:28 pm

crimjoy έγραψε:
grigkost έγραψε:Σε κάθε σημείο (x_0,0)\,,\; -\sqrt{5}\leqslant x_0\leqslant \sqrt{5} έχουμε f(x_0,0)=0. Όμως για κάθε x_0\in\big(0,\sqrt{5}\,\big] υπάρχει μια μικρή περιοχή U(x_0,0) στην οποία η f(x,y)=x\,y^2 παίρνει μόνο θετικές τιμές εκτός από το σημείο (x_0,0) όπου μηδενίζεται. Επομένως σε όλα τα σημεία (x_0,0)\,,\; x_0\in\big(0,\sqrt{5}\,\big] η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο.
Αντίθετα για για κάθε x_0\in\big[-\sqrt{5},\,0\big] υπάρχει μια μικρή περιοχή U(x_0,0) στην οποία η f(x,y)=x\,y^2 παίρνει αρνητικές τιμές εκτός από το σημείο (x_0,0) όπου μηδενίζεται. Επομένως σε αυτά τα σημεία η f δεν παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο.
Σε ευχαριστώ γίνεται αντιληπτό αυτό που λες, πηγάζει από κάποιο θεώρημα ή είναι γενικός εμπειρικός κανόνας όταν μας βγαίνει 0 να το κοιτάμε και λίγο πιο δίπλα ?
Όπως ανέφερα και παραπάνω "Γενικά η εύρεση ακροτάτων συναρτήσεων διανυσματικής μεταβλητής σε κλειστό σύνολο -δηλαδή σε σύνολο με σύνορο- δεν είναι εύκολη διαδικασία." . Υπάρχουν ισχυρές μέθοδοι -όπως οι δυο που χρησιμοποιήθηκαν, δηλαδή οι ρίζες του \rm{grad} και η μέθοδος Lagrange- που βοηθάνε πολύ σε πολλές περιπτώσεις, αλλά δεν είναι "απόλυτες". Έτσι, κατά περίπτωση, πρέπει να κάνουμε μια διερεύνηση με "όσα όπλα έχουμε". Στην προκείμενη περίπτωση χρησιμοποιήθηκε ο ορισμός του τοπικού ακρότατου (ελαχίστου). Δεν πρόκειται για κάποιο θεώρημα. Και δεν είναι ανάγκη η συνάρτηση να μηδενίζεται στο υποψήφιο σημείο. Αρκεί να μπορούμε να αποδείξουμε το ότι ισχύει η συνθήκη του τοπικού ακροτάτου.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
crimjoy
Δημοσιεύσεις: 10
Εγγραφή: Πέμ Σεπ 01, 2016 5:23 pm

Re: Τοπικά ελάχιστα με lagrange

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από crimjoy » Παρ Σεπ 02, 2016 3:44 pm

grigkost έγραψε:
crimjoy έγραψε:
grigkost έγραψε:Σε κάθε σημείο (x_0,0)\,,\; -\sqrt{5}\leqslant x_0\leqslant \sqrt{5} έχουμε f(x_0,0)=0. Όμως για κάθε x_0\in\big(0,\sqrt{5}\,\big] υπάρχει μια μικρή περιοχή U(x_0,0) στην οποία η f(x,y)=x\,y^2 παίρνει μόνο θετικές τιμές εκτός από το σημείο (x_0,0) όπου μηδενίζεται. Επομένως σε όλα τα σημεία (x_0,0)\,,\; x_0\in\big(0,\sqrt{5}\,\big] η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο.
Αντίθετα για για κάθε x_0\in\big[-\sqrt{5},\,0\big] υπάρχει μια μικρή περιοχή U(x_0,0) στην οποία η f(x,y)=x\,y^2 παίρνει αρνητικές τιμές εκτός από το σημείο (x_0,0) όπου μηδενίζεται. Επομένως σε αυτά τα σημεία η f δεν παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο.
Σε ευχαριστώ γίνεται αντιληπτό αυτό που λες, πηγάζει από κάποιο θεώρημα ή είναι γενικός εμπειρικός κανόνας όταν μας βγαίνει 0 να το κοιτάμε και λίγο πιο δίπλα ?
Όπως ανέφερα και παραπάνω "Γενικά η εύρεση ακροτάτων συναρτήσεων διανυσματικής μεταβλητής σε κλειστό σύνολο -δηλαδή σε σύνολο με σύνορο- δεν είναι εύκολη διαδικασία." . Υπάρχουν ισχυρές μέθοδοι -όπως οι δυο που χρησιμοποιήθηκαν, δηλαδή οι ρίζες του \rm{grad} και η μέθοδος Lagrange- που βοηθάνε πολύ σε πολλές περιπτώσεις, αλλά δεν είναι "απόλυτες". Έτσι, κατά περίπτωση, πρέπει να κάνουμε μια διερεύνηση με "όσα όπλα έχουμε". Στην προκείμενη περίπτωση χρησιμοποιήθηκε ο ορισμός του τοπικού ακρότατου (ελαχίστου). Δεν πρόκειται για κάποιο θεώρημα. Και δεν είναι ανάγκη η συνάρτηση να μηδενίζεται στο υποψήφιο σημείο. Αρκεί να μπορούμε να αποδείξουμε το ότι ισχύει η συνθήκη του τοπικού ακροτάτου.
Σε ευχαριστώ πολύ :coolspeak:


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης