Σύστημα διαφορικών εξισώσεων

#1

Έστω:
οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις y_1(x),y_2(x),y_3(x)

στο $\mathbb{R}$ ,
$\displaystyle{Y(x)=\begin{bmatrix} y_1(x)\\ y_2(x)\\ y_3(x) \end{bmatrix}}$ ,
$\displaystyle{A=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ -6 & -11 & -6 \end{bmatrix}}$ .
Να λυθεί το σύστημα: $\displaystyle{Y'(x)=AY(x)}$ .

BAGGP93 · #2

Γεια χαρά. Έστω $\displaystyle{Y=\left(y_1,y_2,y_3\right)^{t}}$ λύση του συστήματος $\displaystyle{Y'=A\,Y}$ . Μετά από πράξεις,

$\displaystyle{y_1^\prime(x)=y_2(x)\,\,,y_2^\prime(x)=y_3(x)\,\,,y_3^\prime(x)=-6\,y_1(x)-11\,y_2(x)-6\,y_3(x)\,,x\in\mathbb{R}}$ . Από την τελευταία,

$\displaystyle{y_3^{\prime \prime}(x)=-6\,y_1^\prime(x)-11\,y_2^\prime(x)-6\,y_3^\prime(x)=-6\,y_2(x)-11\,y_3(x)-6\,y_3^\prime(x)\,,x\in\mathbb{R}}$ .

Παραγωγίζουμε άλλη μια φορά και παίρνουμε,

$\displaystyle{y_3^{(3)}(x)=-6\,y_2^\prime(x)-11\,y_3^\prime(x)-6\,y_3^{\prime \prime}(x)}$ ή ισοδύναμα

$\displaystyle{y_3^{(3)}(x)+6\,y_3^{\prime \prime}(x)+11\,y_3^\prime(x)+6\,y_3(x)=0\,,x\in\mathbb{R}}$

με χαρακτηριστικό πολυώνυμο $\displaystyle{p(k)=k^3+6\,k^2+11\,k+6\in\mathbb{R}[x]}$ , το οποίο γράφεται ώς

$\displaystyle{p(k)=(k+1)\,(k+2)\,(k+3)}$ με ρίζες $\displaystyle{\left\{-3,-2,-1\right\}}$ . Τελικά,

$\displaystyle{y_3(x)=c_1\,e^{-3\,x}+c_2\,e^{-2\,x}+c_3\,e^{-x}\,,x\in\mathbb{R}}$ και άρα με αντικαταστάση

$\displaystyle{y_2^\prime(x)=y_3(x)\implies y_2(x)=-\dfrac{1}{3}\,c_1\,e^{-3\,x}-\dfrac{1}{2}\,c_2\,e^{-2\,x}+-c_3\,e^{-x}+a\,,x\in\mathbb{R}}$

και τέλος,

$\displaystyle{y_1^\prime(x)=y_2(x)\implies y_1(x)=\dfrac{1}{9}\,c_1\,e^{-3\,x}+\dfrac{1}{4}\,c_2\,e^{-2\,x}+c_3\,e^{-x}+a\,x+b\,,x\in\mathbb{R}}$ .

Η επαλήθευση είναι άμεση.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Στην λύση του Ευάγγελου υπάρχει λάθος(απροσεξίας)
Δεν εισέρχονται μιγαδικοί.
Η άσκηση είναι κλασσική και μπορεί να λυθεί με την μέθοδο που λύνονται τα γραμμικά
συστήματα πρώτης τάξης(ιδιοτιμές-ιδιοδιανύσματα )

Συπλήρωμα.
Διορθώθηκε το λάθος,

#4

Και εγώ τη λύση με τις ιδιοτιμές είχα υπόψη μου. Η μορφή του πίνακα

είναι απλή και βολεύει και αυτό που έκανε ο Ευάγγελος.

Ας δώσω τη λύση με τις ιδιοτιμές.

$|A-\lambda I| = 0 \Leftrightarrow \lambda=-1,-2,-3$ , που είναι οι ιδιοτιμές του πίνακα

.

Τότε:

*Για $\lambda =-1$ έχουμε ότι το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα είναι $\displaystyle{\bigl(\begin{smallmatrix} 1\\ -1\\ 1 \end{smallmatrix}\bigr)}$ .

*Για $\lambda =-2$ έχουμε ότι το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα είναι $\displaystyle{\bigl(\begin{smallmatrix} \frac{1}{4}\\ -\frac{1}{2}\\ 1 \end{smallmatrix}\bigr)}$ .

*Για $\lambda =-3$ έχουμε ότι το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα είναι $\displaystyle{\bigl(\begin{smallmatrix} 1\\ -3\\ 9 \end{smallmatrix}\bigr)}$ .

Συνεπώς προκύπτει ο πίνακας $\displaystyle{P=\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{4} & 1\\ -1 & -\frac{1}{2} & -3\\ 1 & 1 & 9 \end{pmatrix}}$ ,
οπότε
$\displaystyle{A=P K P^{-1}}$ , όπου $\displaystyle{K=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\ 0 & -2 & 0\\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}}$ .

To σύστημα γράφεται: $\displaystyle{Y' = P K P ^{-1}Y \Leftrightarrow P^{-1}Y' =K P^{-1} Y \Leftrightarrow W'=KW,W=P^{-1}Y (I)}$ .

Αν $\displaystyle{W(x)=\begin{pmatrix} w_1(x)\\ w_2(x)\\ w_3(x) \end{pmatrix}}$ , από την $\displaystyle{(I)}$ βρίσκουμε ότι:
$\displaystyle{w_1{'}(x)=-w_1(x),w_2{'}(x)=-2w_2(x), w_3{'}(x)=-3w_3(x) \Rightarrow }$
$\displaystyle{\Rightarrow w_1(x)=c_1e^{-x}+a,w_2(x)=c_2e^{-2x}+b,w_3(x)=c_3e^{-3x}+c}$ .

Τότε $\displaystyle{W=P^{-1}Y \Leftrightarrow Y=PW \Leftrightarrow }$
$\displaystyle{\Leftrightarrow y_1(x)=c_1e^{-x}+\frac{1}{4}c_2e^{-2x}+c_3e^{-3x}+k_1,}$
$\displaystyle{y_2(x)=-c_1e^{-x}+\frac{1}{2}c_2e^{-2x}-3c_3e^{-3x}+k_2}$
$y_3(x)=c_1e^{-x}+\frac{1}{4}c_2e^{-2x}+9c_3e^{-3x}+k_3}$ .

Επαληθεύοντας στο αρχικό σύστημα βρίσκουμε ότι k_1=k_2=k_3=0

.

Σύστημα διαφορικών εξισώσεων

Σύστημα διαφορικών εξισώσεων

Re: Σύστημα διαφορικών εξισώσεων

Re: Σύστημα διαφορικών εξισώσεων

Re: Σύστημα διαφορικών εξισώσεων

Μέλη σε σύνδεση