Συνάρτηση δ-Dirac, Μετασχηματισμός Fourier

Συντονιστής: Πρωτοπαπάς Λευτέρης

Mathletic
Δημοσιεύσεις: 275
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 21, 2013 11:25 pm

Συνάρτηση δ-Dirac, Μετασχηματισμός Fourier

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mathletic » Πέμ Ιουν 05, 2014 7:52 pm

Καλησπέρα!

Έχω βρει τα ακόλουθα και έχω κάποιες ερωτήσεις.

f(x)=\delta(x-x_0)

"Όσο πιο στενή είναι μια συνάρτηση, το φάσμα της θα είναι πιο ευρύ."

\widetilde{f}(k)=\int_{-\infty}^{+\infty}{\delta(x-x_0)e^{-ikx}}dx

\widetilde{f}(k)=e^{-ikx_0}(*) , | \widetilde{f}(k)|=1


f(x)=\cos{(k_0x)}

\widetilde{f}(k)=\int_{-\infty}^{+\infty}{\frac{e^{ik_0x}+e^{-ik_0x}}{2}e^{-ikx}}dx=\frac{1}{2}[\int_{-\infty}^{+\infty}{(e^{i(k_0-k)x}+e^{-i(k_0+k)x})}dx]

\widetilde{f}(k)=\frac{1}{2}[\delta(k+k_0)+\delta(k-k_0)](**)

Από την σχέση \int_{-\infty}^{+\infty}{f(x) \delta(x-a)}dx=f(a) καταλήγουμε στη σχέση (*).



Έχω μία απορία σχετικά με τη σχέση (**):

Γνωρίζουμε ότι 2 \pi \delta(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}{e^{ikx}}dk.

Δεν θα έπρεπε να είναι:

\frac{1}{2}[\int_{-\infty}^{+\infty}{(e^{i(k_0-k)x}+e^{-i(k_0+k)x})}dx]=\frac{1}{2}[ 2 \pi \delta(k_0-k)+2 \pi \delta(-k-k_0)]
= \pi [ \delta(k_0-k)+ \delta(-k-k_0)];

Ή καταλήγουμε σε αυτή τη σχέση με άλλο τρόπο;

Επίσης μπορείτε να μου εξηγήσετε την εξής πρόταση;
"Όσο πιο στενή είναι μια συνάρτηση, το φάσμα της θα είναι πιο ευρύ."


Άβαταρ μέλους
Zarifis
Δημοσιεύσεις: 107
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 15, 2011 12:44 am
Τοποθεσία: Νίκαια

Re: Συνάρτηση δ-Dirac, Μετασχηματισμός Fourier

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Zarifis » Δευ Ιουν 16, 2014 10:45 pm

Για να μην δημιουργώ νέο topic, θέλω με Residue theory να βρω τον αντιστροφο Fourier, η δ-dirac πως εμφανίζεται με residue theory όμως;


Τι νόημα έχει το όνειρο χωρίς μικρές νοθείες...
Νίκος Ζαρίφης-ΗΜΜΥ
tdsotm111
Δημοσιεύσεις: 123
Εγγραφή: Τετ Ιαν 13, 2010 12:54 am

Re: Συνάρτηση δ-Dirac, Μετασχηματισμός Fourier

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από tdsotm111 » Δευ Ιουν 16, 2014 11:09 pm



Άβαταρ μέλους
Zarifis
Δημοσιεύσεις: 107
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 15, 2011 12:44 am
Τοποθεσία: Νίκαια

Re: Συνάρτηση δ-Dirac, Μετασχηματισμός Fourier

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Zarifis » Δευ Ιουν 16, 2014 11:31 pm

Βασικά αφτό που ψάχνω είναι το αντίστροφο πχ ξέρω ότι \displaystyle{F\{ 1\}  = 2\pi \delta (\omega ),{F^{ - 1}}\{ 1\}  = \delta (t)} αλλά πως γίνεται να εμφανιστει το δ με residue.(Μιλάμε για σήματα.)


Τι νόημα έχει το όνειρο χωρίς μικρές νοθείες...
Νίκος Ζαρίφης-ΗΜΜΥ
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης