Θα μπορούσε να είναι και Λυκειακή άσκηση ...

#1

Αν

είναι δύο γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις της εξίσωσης y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=0,

όπου $x \in \Delta$ (διάστημα) και p(x),q(x)

συνεχείς συναρτήσεις στο $\Delta,$ να αποδείξετε ότι μεταξύ δύο διαδοχικών λύσεων της y_1(x)=0

υπάρχει λύση της y_2(x)=0.

#2

Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 04, 2023 5:10 pm
Αν είναι δύο γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις της εξίσωσης όπου $x \in \Delta$ (διάστημα) και συνεχείς συναρτήσεις στο $\Delta,$ να αποδείξετε ότι μεταξύ δύο διαδοχικών λύσεων της υπάρχει λύση της

Είναι γνωστή πρόταση (νομίζω ονομάζεται Θεώρημα Sturm), και υπάρχει σε όλα τα βιβλία Διαφορικών Εξισώσεων αλλά ίσως με χρήση ελαφριά εξωσχολικών εργαλείων. Ας την δούμε συνοπτικά με σχολικά εργαλεία (ουσιαστικά επαναλαμβάνω γνωστά θέματα με μικρές προσαρμογές), με την προσθήκη ότι στην εξωσχολική φράση "γραμμικά ανεξάρτητες" θα εννοούμε "όχι η μία πολλαπλάσιο της άλλης, σε οποιοδήποτε διάστημα" (προσοχή, αυτό είναι ισχυρότερο από την γραμμική ανεξαρτησία).

Αν f,g

δύο τέτοιες λύσεις, δηλαδή f''+pf'+qf=0=g''+pg'+qg

. Πολλαπλασιάζουμε την πρώτη επί

και την δεύτερη επί

και αφαιρούμε. Δίνει f''g-fg''+p(f'g-fg')=0

ή αλλιώς

. Δηλαδή της μορφής F'+pF=0

. Στο επόμενο βήμα τα βιβλία συνήθως προχωρούν με "ολοκληρωτικό παράγοντα" αλλά το διαμορφώνω σε σχολικά Μαθηματικά. Αν

αρχική της

τότε η προηγούμενη γράφεται

e^PF + e^PpF=0

, δηλαδή $\left (e^PF)'=0$ , οπότε γιά κάποια σταθερά

είναι

ή αλλιώς $f'g-fg'=F= ce^{-P} \, (*)$

Έστω τώρα f(a)=0=f(b)

δύο διαδοχικές ρίζες της

. Έστω ακόμη (για να πάμε σε άτοπο) ότι η

δεν μηδενίζεται στο μεσοδιάστημα (a,b)

.

Τώρα, η σταθερά

στην

είναι μη μηδενική γιατί αλλιώς στο (a,b)

θα είχαμε ότι ορίζεται η $\dfrac {f}{g}$ και ότι $\left (\dfrac {f}{g} \right )'= \dfrac {f'g-fg'}{g^2} =0$ . Άρα f=dg

για κάποια σταθερά

, άτοπο (από την ελαφριά ενισχυμένη υπόθεση περί γραμμικής ανεξαρτησίας).

Αφού $c\ne 0$ έχουμε ότι το δεξί μέλος της (*)

δεν μηδενίζεται πουθενά (ιδιότητα της εκθετικής). Έπεται ότι $g(a) \ne 0$ γιατί αλλιώς η (*) θα έδινε

δεδομένου ότι f(a)=0

. Όμοια $g(b) \ne 0$ . Άρα η $\dfrac {f}{g}$ ορίζεται και στα άκρα του (a,b)

.

Κάνουμε τώρα Rolle στην $\dfrac {f}{g}$ στο [a,b]

(εδώ γίνεται χρήση της f(a)=f(b)=0

). Έπεται ότι υπάρχει $\xi$ όπου μηδενίζεται η παράγωγός της, οπότε ισχύει

$\dfrac {f'(\xi) g(\xi)-f(\xi) g'(\xi) }{g^2(\xi)}=0$ , και άρα $F(\xi )=0$ . Άτοπο στην (*)

αφού $c\ne 0$ . Τελειώσαμε.

Θα μπορούσε να είναι και Λυκειακή άσκηση ...

Θα μπορούσε να είναι και Λυκειακή άσκηση ...

Re: Θα μπορούσε να είναι και Λυκειακή άσκηση ...

Μέλη σε σύνδεση