Εύρεση όγκου

#1

Ένα "δοχείο" σχηματίζεται από τις επιφάνειες S_1

(μπλε) και S_2

(καφέ) με παραμετρικές παραστάσεις
${\bf{X}}_1:[0,\pi]\times[0,2\pi]\longrightarrow\mathbb{R}^3\,;\; {\bf{X}}_1(u,v)=\begin{pmatrix} 2(u-\sin{u})\cos{v}\\ 2(u-\sin{u})\sin{v}\\ 2\cos{u} \end{pmatrix}$ και ${\bf{X}}_2:[0,\pi]\times[0,2\pi]\longrightarrow\mathbb{R}^3\,;\; {\bf{X}}_2(u,v)=\begin{pmatrix} (\pi+u-\sin{u})\cos{v}\\ (\pi+u-\sin{u})\sin{v}\\ \cos{u}-1 \end{pmatrix}\,,$ αντίστοιχα, που έχουν τομή τον κύκλο $(2\pi\cos{t},2\pi\sin{t},-2)\,,\; t\in[0,2\pi]$ .

Ποιά είναι η μεγαλύτερη ποσότητα (σε όγκο) υγρού που μπορούμε να ρίξουμε στο "δοχείο" ώστε αυτό να μην υπερχειλίσει έξω από την επιφάνεια S_2

;

: volume02sm.png (88.59 KiB) Προβλήθηκε 1333 φορές

#2

grigkost έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 04, 2021 12:01 pm
Ένα "δοχείο" σχηματίζεται από τις επιφάνειες (μπλε) και (καφέ) με παραμετρικές παραστάσεις
${\bf{X}}_1:[0,\pi]\times[0,2\pi]\longrightarrow\mathbb{R}^3\,;\; {\bf{X}}_1(u,v)=\begin{pmatrix} 2(u-\sin{u})\cos{v}\\ 2(u-\sin{u})\sin{v}\\ 2\cos{u} \end{pmatrix}$ και ${\bf{X}}_2:[0,\pi]\times[0,2\pi]\longrightarrow\mathbb{R}^3\,;\; {\bf{X}}_2(u,v)=\begin{pmatrix} (\pi+u-\sin{u})\cos{v}\\ (\pi+u-\sin{u})\sin{v}\\ \cos{u}-1 \end{pmatrix}\,,$ αντίστοιχα, που έχουν τομή τον κύκλο $(2\pi\cos{t},2\pi\sin{t},-2)\,,\; t\in[0,2\pi]$ .

Ποιά είναι η μεγαλύτερη ποσότητα (σε όγκο) υγρού που μπορούμε να ρίξουμε στο "δοχείο" ώστε αυτό να μην υπερχειλίσει έξω από την επιφάνεια ;

Γρηγόρη καλησπέρα...

Αρχικά αναρτώ το κατωτέρω σχήμα:

: Όγκος μεταξύ επιφανειών 1.png (59.38 KiB) Προβλήθηκε 1280 φορές

Στο σχήμα αυτό φαίνεται ένα μέρος του χώρου που περιλαμβάνεται μεταξύ

των δυο αυτών επιφανειών καθώς και ο κύκλος στον οποία συναντώνται αυτές.

Για καλύτερη εποπτεία αναρτώ και το αντίστοιχο δυναμικό αρχείο.

Όγκος 1.ggb: (13.59 KiB) Μεταφορτώθηκε 37 φορές

(Συνεχίζεται...)

Κώστας Δόρτσιος

#3

grigkost έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 04, 2021 12:01 pm
Ένα "δοχείο" σχηματίζεται από τις επιφάνειες (μπλε) και (καφέ) με παραμετρικές παραστάσεις
${\bf{X}}_1:[0,\pi]\times[0,2\pi]\longrightarrow\mathbb{R}^3\,;\; {\bf{X}}_1(u,v)=\begin{pmatrix} 2(u-\sin{u})\cos{v}\\ 2(u-\sin{u})\sin{v}\\ 2\cos{u} \end{pmatrix}$ και ${\bf{X}}_2:[0,\pi]\times[0,2\pi]\longrightarrow\mathbb{R}^3\,;\; {\bf{X}}_2(u,v)=\begin{pmatrix} (\pi+u-\sin{u})\cos{v}\\ (\pi+u-\sin{u})\sin{v}\\ \cos{u}-1 \end{pmatrix}\,,$ αντίστοιχα, που έχουν τομή τον κύκλο $(2\pi\cos{t},2\pi\sin{t},-2)\,,\; t\in[0,2\pi]$ .

Ποιά είναι η μεγαλύτερη ποσότητα (σε όγκο) υγρού που μπορούμε να ρίξουμε στο "δοχείο" ώστε αυτό να μην υπερχειλίσει έξω από την επιφάνεια ;

(Συνέχεια...)

Στα παρακάτω δυο σχήματα μελετούμε και παρουσιάζουμε τις τομές

των επιφανειών αυτών με το επίπεδο $\displaystyle{xOz}$ .

Σχήμα 1ο

: Όγκος μεταξύ επιφανειών 3.png (17.97 KiB) Προβλήθηκε 1204 φορές

Στο σχήμα αυτό βλέπουμε την αρχική και μερική ανάπτυξη των δυο επιφανειών
καθώς και τις γραμμές κατά τις οποίες τέμνουν το επίπεδο $\displaystyle{xOz}$ , δηλαδή
τις γραμμές:
$\displaystyle{A \Gamma}$ , και $\displaystyle{A \Delta E}$

Σχήμα 2ο

: Όγκος μεταξύ επιφανειών 2.png (12.11 KiB) Προβλήθηκε 1204 φορές

Οι καμπύλες αυτές αντίστοιχα έχουν εξισώσεις:

$\displaystyle{ A \Delta E : f_1(u,0)=\left\{\begin{matrix} 2(u-sinu) \\ 0 \\ 2cosu \end{matrix}\right, \ \ 0 \leq u \leq \pi }$

Αν θέσουμε στην εξίσωση αυτή $\displaystyle{ u=0}$ τότε βρίσκουμε $\displaystyle{ x=0, \ \ z=2}$ . Δηλαδή το σημείο $\displaystyle{E(0,0,2)}$

Αν θέσουμε $\displaystyle{u=\pi}$ τότε θα είναι: $\displaystyle{x=2\pi, \ \ z=-2}$ . Δηλαδή το σημείο $\displaystyle{A(2\pi,0,-2)}$

Τέλος αν σ' αυτή θέσουομε: $\displaystyle{z=0}$ τότε θα είναι: $\displaystyle{ u=\frac{\pi}{2}}$ και τότε $\displaystyle{x=\pi-2}$ . Δηλαδή το σημείο $\displaystyle{\Delta(\pi -2, 0,0)}$

Όμοια μελετούμε και τη θέση της καμπύλης:

$\displaystyle{ A \Gamma : f_2(u,0)=\left\{\begin{matrix} \pi+u-sinu \\ 0 \\ cosu-1 \end{matrix}\right, \ \ 0 \leq u \leq \pi }$

η οποία θα διέρχεται από τα σημεία: $\displaystyle{A(2\pi,0,-2)}$ και $\displaystyle{\Gamma(\pi,0,0)}$ .

(Συνεχίζεται....)

Κώστας Δόρτσιος

#4

grigkost έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 04, 2021 12:01 pm
Ένα "δοχείο" σχηματίζεται από τις επιφάνειες (μπλε) και (καφέ) με παραμετρικές παραστάσεις
${\bf{X}}_1:[0,\pi]\times[0,2\pi]\longrightarrow\mathbb{R}^3\,;\; {\bf{X}}_1(u,v)=\begin{pmatrix} 2(u-\sin{u})\cos{v}\\ 2(u-\sin{u})\sin{v}\\ 2\cos{u} \end{pmatrix}$ και ${\bf{X}}_2:[0,\pi]\times[0,2\pi]\longrightarrow\mathbb{R}^3\,;\; {\bf{X}}_2(u,v)=\begin{pmatrix} (\pi+u-\sin{u})\cos{v}\\ (\pi+u-\sin{u})\sin{v}\\ \cos{u}-1 \end{pmatrix}\,,$ αντίστοιχα, που έχουν τομή τον κύκλο $(2\pi\cos{t},2\pi\sin{t},-2)\,,\; t\in[0,2\pi]$ .

Ποιά είναι η μεγαλύτερη ποσότητα (σε όγκο) υγρού που μπορούμε να ρίξουμε στο "δοχείο" ώστε αυτό να μην υπερχειλίσει έξω από την επιφάνεια ;

(Συνέχεια...)

Παραθέτω ακόμα τρία σχήματα σχετικά με την όλη έκταση του προβλήματος αυτού.

Σχήμα 1ο

: Όγκος μεταξύ επιφανειών 5.png (21.84 KiB) Προβλήθηκε 1145 φορές

Στο σχήμα αυτό βλέπουμε έναν κυκλικό δίσκο που προέκυψε από την περιστροφή
του ευθυγράμμου $\displaystyle{S_1S_2}$ το οποίο είναι παράλληλο προς τον άξονα $\displaystyle{x'Ox}$
και ανήκει στο επίπεδο $\displaystyle{xOz}$ γύρα από τον άξονα $\displaystyle{Oz}$ κατά γωνία ίση με $\displaystyle{2\pi}$ .

Οι συντεταγμένες των σημείων αυτών εύκολα μπορούν να βρεθούν και είναι οι ακόλουθες:

$\displaystyle{x(S_1)=2(u-sinu), \ \ z(S_1)=2cosu, \ \ (1) }$

$\displaystyle{x(S_2)=\pi+w-sinw, \ \ z(S_2)=cosw, \ \ (2) }$

όπου:

$\displaystyle{u \in[\frac{\pi}{2}, \pi] \ \ (3)}$

και

$\displaystyle{w=arccos(1+cosu) \ \ (4)}$

Από τις σχέσεις αυτές γνωρίζουμε εύκολα και την εξίσωση της επιφάνειας
του ανωτέρω δίσκου.

Σχήμα 2ο

: Όγκος μεταξύ επιφανειών 4.png (70.64 KiB) Προβλήθηκε 1145 φορές

Στο σχήμα αυτό έχουμε γεμίσει μερικώς το δοχείο αυτό με νερό μετακινώντας

των κυκλικό δίσκο του προηγούμενου σχήματος.

Σχήμα 3ο

: Όγκος μεταξύ επιφανειών 6.png (58.91 KiB) Προβλήθηκε 1145 φορές

Μια άλλη εικόνα του δοχείου αυτού με μια ποσότητα νερού.

(Συνεχίζεται...)

Κώστας Δόρτσιος

#5

grigkost έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 04, 2021 12:01 pm
Ένα "δοχείο" σχηματίζεται από τις επιφάνειες (μπλε) και (καφέ) με παραμετρικές παραστάσεις
${\bf{X}}_1:[0,\pi]\times[0,2\pi]\longrightarrow\mathbb{R}^3\,;\; {\bf{X}}_1(u,v)=\begin{pmatrix} 2(u-\sin{u})\cos{v}\\ 2(u-\sin{u})\sin{v}\\ 2\cos{u} \end{pmatrix}$ και ${\bf{X}}_2:[0,\pi]\times[0,2\pi]\longrightarrow\mathbb{R}^3\,;\; {\bf{X}}_2(u,v)=\begin{pmatrix} (\pi+u-\sin{u})\cos{v}\\ (\pi+u-\sin{u})\sin{v}\\ \cos{u}-1 \end{pmatrix}\,,$ αντίστοιχα, που έχουν τομή τον κύκλο $(2\pi\cos{t},2\pi\sin{t},-2)\,,\; t\in[0,2\pi]$ .

Ποιά είναι η μεγαλύτερη ποσότητα (σε όγκο) υγρού που μπορούμε να ρίξουμε στο "δοχείο" ώστε αυτό να μην υπερχειλίσει έξω από την επιφάνεια ;

(Τελευταίο)

Υπολογισμός του όγκου του στερεού αυτού.

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Όγκος μεταξύ επιφανειών 7.png (25.07 KiB) Προβλήθηκε 1058 φορές

Το στερεό του οποίου ζητούμε τον όγκο είναι ένα στερεό εκ περιστροφής γύρω

από το άξονα $\displaystyle{Oz}$ κατά γωνία ίση με $\displaystyle{\phi=2\pi }$ των γραμμών:

$\displaystyle{A\Gamma}$ , $\displaystyle{A \Delta }$ και $\displaystyle{ \Gamma \Delta \ \ (1) }$ .

Από τις καμπύλες αυτές η τρίτη δεν παράγει όγκο. Όμως οι άλλες δύο

παράγουν όγκους τους οποίους πρέπει τελικά να τους αφαιρέσουμε.

Οι παραμετρικές εξισώσεις των δυο αυτών γραμμών είναι:

$\displaystyle{f_{A \Delta}=\begin{Bmatrix} 2(u-sinu) \\0\\2cosu \end{matrix}, \ \ u \in [\frac{\pi}{2}, \pi] \ \ (2) }$

και

$\displaystyle{f_{A \Gamma}=\begin{Bmatrix} \pi+u-sinu \\0\\cosu -1 \end{matrix}, \ \ u \in [0, \pi] \ \ (3) }$

Ο τύπος που θα εφαρμόσουμε για τον υπολογισμό του όγκου αυτού για την πρώτη είναι:

$\displaystyle{ V_{1,A\Delta}=V_{1,Oz}=\pi \left| \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}(2(u-sinu))^2 \cdot (2cosu)' du \right| =... \approx 55.13\ \ (4) }$

Όμοια για τη δεύτερη είναι:

$\displaystyle{ V_{2,A \Gamma}=V_{2,Oz}=\pi \left| \int_{0}^{\pi}(\pi +u-sinu)^2 \cdot (cosu-1)' du \right| = ...\approx 100.14 \ \ (5) }$

Από τις (4) και (5) σχέσεις προκύπτει ότι ο ζητούμενος όγκος του "δοχείου" αυτού είναι:

$\displaystyle{V=V_{2, A \Gamma}-V_{1,A \Delta}\approx 45.01 }$

Τα δύο αυτό ολοκληρώματα υπολογίστηκα από το λογισμικό.

Κώστας Δόρτσιος

Εύρεση όγκου

Εύρεση όγκου

Re: Εύρεση όγκου

Re: Εύρεση όγκου

Re: Εύρεση όγκου

Re: Εύρεση όγκου

Μέλη σε σύνδεση