Εύρεση όγκου

Συντονιστής: Πρωτοπαπάς Λευτέρης

Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2909
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα
Επικοινωνία:

Εύρεση όγκου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Πέμ Μαρ 04, 2021 12:01 pm

Ένα "δοχείο" σχηματίζεται από τις επιφάνειες S_1 (μπλε) και S_2 (καφέ) με παραμετρικές παραστάσεις
{\bf{X}}_1:[0,\pi]\times[0,2\pi]\longrightarrow\mathbb{R}^3\,;\; {\bf{X}}_1(u,v)=\begin{pmatrix} 
	2(u-\sin{u})\cos{v}\\ 
	2(u-\sin{u})\sin{v}\\ 
	2\cos{u} 
\end{pmatrix}
και {\bf{X}}_2:[0,\pi]\times[0,2\pi]\longrightarrow\mathbb{R}^3\,;\; {\bf{X}}_2(u,v)=\begin{pmatrix} 
	(\pi+u-\sin{u})\cos{v}\\ 
	(\pi+u-\sin{u})\sin{v}\\ 
	\cos{u}-1 
\end{pmatrix}\,, αντίστοιχα, που έχουν τομή τον κύκλο (2\pi\cos{t},2\pi\sin{t},-2)\,,\; t\in[0,2\pi].

Ποιά είναι η μεγαλύτερη ποσότητα (σε όγκο) υγρού που μπορούμε να ρίξουμε στο "δοχείο" ώστε αυτό να μην υπερχειλίσει έξω από την επιφάνεια S_2;
volume02sm.png
volume02sm.png (88.59 KiB) Προβλήθηκε 517 φορές


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma

Λέξεις Κλειδιά:
KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 2076
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Εύρεση όγκου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Παρ Μαρ 05, 2021 4:43 pm

grigkost έγραψε:
Πέμ Μαρ 04, 2021 12:01 pm
Ένα "δοχείο" σχηματίζεται από τις επιφάνειες S_1 (μπλε) και S_2 (καφέ) με παραμετρικές παραστάσεις
{\bf{X}}_1:[0,\pi]\times[0,2\pi]\longrightarrow\mathbb{R}^3\,;\; {\bf{X}}_1(u,v)=\begin{pmatrix} 
	2(u-\sin{u})\cos{v}\\ 
	2(u-\sin{u})\sin{v}\\ 
	2\cos{u} 
\end{pmatrix}
και {\bf{X}}_2:[0,\pi]\times[0,2\pi]\longrightarrow\mathbb{R}^3\,;\; {\bf{X}}_2(u,v)=\begin{pmatrix} 
	(\pi+u-\sin{u})\cos{v}\\ 
	(\pi+u-\sin{u})\sin{v}\\ 
	\cos{u}-1 
\end{pmatrix}\,, αντίστοιχα, που έχουν τομή τον κύκλο (2\pi\cos{t},2\pi\sin{t},-2)\,,\; t\in[0,2\pi].

Ποιά είναι η μεγαλύτερη ποσότητα (σε όγκο) υγρού που μπορούμε να ρίξουμε στο "δοχείο" ώστε αυτό να μην υπερχειλίσει έξω από την επιφάνεια S_2;
Γρηγόρη καλησπέρα...

Αρχικά αναρτώ το κατωτέρω σχήμα:

Όγκος μεταξύ επιφανειών 1.png
Όγκος μεταξύ επιφανειών 1.png (59.38 KiB) Προβλήθηκε 464 φορές
Στο σχήμα αυτό φαίνεται ένα μέρος του χώρου που περιλαμβάνεται μεταξύ

των δυο αυτών επιφανειών καθώς και ο κύκλος στον οποία συναντώνται αυτές.

Για καλύτερη εποπτεία αναρτώ και το αντίστοιχο δυναμικό αρχείο.
Όγκος 1.ggb
(13.59 KiB) Μεταφορτώθηκε 13 φορές
(Συνεχίζεται...)

Κώστας Δόρτσιος


KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 2076
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Εύρεση όγκου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Τρί Μαρ 09, 2021 12:15 pm

grigkost έγραψε:
Πέμ Μαρ 04, 2021 12:01 pm
Ένα "δοχείο" σχηματίζεται από τις επιφάνειες S_1 (μπλε) και S_2 (καφέ) με παραμετρικές παραστάσεις
{\bf{X}}_1:[0,\pi]\times[0,2\pi]\longrightarrow\mathbb{R}^3\,;\; {\bf{X}}_1(u,v)=\begin{pmatrix} 
	2(u-\sin{u})\cos{v}\\ 
	2(u-\sin{u})\sin{v}\\ 
	2\cos{u} 
\end{pmatrix}
και {\bf{X}}_2:[0,\pi]\times[0,2\pi]\longrightarrow\mathbb{R}^3\,;\; {\bf{X}}_2(u,v)=\begin{pmatrix} 
	(\pi+u-\sin{u})\cos{v}\\ 
	(\pi+u-\sin{u})\sin{v}\\ 
	\cos{u}-1 
\end{pmatrix}\,, αντίστοιχα, που έχουν τομή τον κύκλο (2\pi\cos{t},2\pi\sin{t},-2)\,,\; t\in[0,2\pi].

Ποιά είναι η μεγαλύτερη ποσότητα (σε όγκο) υγρού που μπορούμε να ρίξουμε στο "δοχείο" ώστε αυτό να μην υπερχειλίσει έξω από την επιφάνεια S_2;

(Συνέχεια...)

Στα παρακάτω δυο σχήματα μελετούμε και παρουσιάζουμε τις τομές

των επιφανειών αυτών με το επίπεδο \displaystyle{xOz}.

Σχήμα 1ο


Όγκος μεταξύ επιφανειών 3.png
Όγκος μεταξύ επιφανειών 3.png (17.97 KiB) Προβλήθηκε 388 φορές
Στο σχήμα αυτό βλέπουμε την αρχική και μερική ανάπτυξη των δυο επιφανειών
καθώς και τις γραμμές κατά τις οποίες τέμνουν το επίπεδο \displaystyle{xOz}, δηλαδή
τις γραμμές:
\displaystyle{A \Gamma}, και \displaystyle{A \Delta E}

Σχήμα 2ο


Όγκος μεταξύ επιφανειών 2.png
Όγκος μεταξύ επιφανειών 2.png (12.11 KiB) Προβλήθηκε 388 φορές
Οι καμπύλες αυτές αντίστοιχα έχουν εξισώσεις:

\displaystyle{ A \Delta E : f_1(u,0)=\left\{\begin{matrix} 2(u-sinu) 
\\ 0 
\\ 2cosu 
 
\end{matrix}\right, \  \ 0 \leq u \leq \pi 
}

Αν θέσουμε στην εξίσωση αυτή \displaystyle{ u=0} τότε βρίσκουμε \displaystyle{ x=0, \  \ z=2}. Δηλαδή το σημείο \displaystyle{E(0,0,2)}

Αν θέσουμε \displaystyle{u=\pi} τότε θα είναι: \displaystyle{x=2\pi, \  \ z=-2}. Δηλαδή το σημείο \displaystyle{A(2\pi,0,-2)}

Τέλος αν σ' αυτή θέσουομε: \displaystyle{z=0} τότε θα είναι: \displaystyle{ u=\frac{\pi}{2}} και τότε \displaystyle{x=\pi-2}. Δηλαδή το σημείο \displaystyle{\Delta(\pi -2, 0,0)}

Όμοια μελετούμε και τη θέση της καμπύλης:

\displaystyle{ A \Gamma : f_2(u,0)=\left\{\begin{matrix} \pi+u-sinu 
\\ 0 
\\ cosu-1 
 
\end{matrix}\right, \  \ 0 \leq u \leq \pi 
}

η οποία θα διέρχεται από τα σημεία: \displaystyle{A(2\pi,0,-2)} και \displaystyle{\Gamma(\pi,0,0)}.

(Συνεχίζεται....)

Κώστας Δόρτσιος


KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 2076
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Εύρεση όγκου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Σάβ Μαρ 13, 2021 10:12 am

grigkost έγραψε:
Πέμ Μαρ 04, 2021 12:01 pm
Ένα "δοχείο" σχηματίζεται από τις επιφάνειες S_1 (μπλε) και S_2 (καφέ) με παραμετρικές παραστάσεις
{\bf{X}}_1:[0,\pi]\times[0,2\pi]\longrightarrow\mathbb{R}^3\,;\; {\bf{X}}_1(u,v)=\begin{pmatrix} 
	2(u-\sin{u})\cos{v}\\ 
	2(u-\sin{u})\sin{v}\\ 
	2\cos{u} 
\end{pmatrix}
και {\bf{X}}_2:[0,\pi]\times[0,2\pi]\longrightarrow\mathbb{R}^3\,;\; {\bf{X}}_2(u,v)=\begin{pmatrix} 
	(\pi+u-\sin{u})\cos{v}\\ 
	(\pi+u-\sin{u})\sin{v}\\ 
	\cos{u}-1 
\end{pmatrix}\,, αντίστοιχα, που έχουν τομή τον κύκλο (2\pi\cos{t},2\pi\sin{t},-2)\,,\; t\in[0,2\pi].

Ποιά είναι η μεγαλύτερη ποσότητα (σε όγκο) υγρού που μπορούμε να ρίξουμε στο "δοχείο" ώστε αυτό να μην υπερχειλίσει έξω από την επιφάνεια S_2;

(Συνέχεια...)

Παραθέτω ακόμα τρία σχήματα σχετικά με την όλη έκταση του προβλήματος αυτού.

Σχήμα 1ο

Όγκος μεταξύ επιφανειών 5.png
Όγκος μεταξύ επιφανειών 5.png (21.84 KiB) Προβλήθηκε 329 φορές
Στο σχήμα αυτό βλέπουμε έναν κυκλικό δίσκο που προέκυψε από την περιστροφή
του ευθυγράμμου \displaystyle{S_1S_2} το οποίο είναι παράλληλο προς τον άξονα \displaystyle{x'Ox}
και ανήκει στο επίπεδο \displaystyle{xOz} γύρα από τον άξονα \displaystyle{Oz} κατά γωνία ίση με \displaystyle{2\pi}.

Οι συντεταγμένες των σημείων αυτών εύκολα μπορούν να βρεθούν και είναι οι ακόλουθες:

\displaystyle{x(S_1)=2(u-sinu), \  \ z(S_1)=2cosu, \  \ (1) }

\displaystyle{x(S_2)=\pi+w-sinw, \  \ z(S_2)=cosw, \  \ (2) }

όπου:

\displaystyle{u \in[\frac{\pi}{2}, \pi] \  \ (3)}

και

\displaystyle{w=arccos(1+cosu) \  \ (4)}

Από τις σχέσεις αυτές γνωρίζουμε εύκολα και την εξίσωση της επιφάνειας
του ανωτέρω δίσκου.

Σχήμα 2ο

Όγκος μεταξύ επιφανειών 4.png
Όγκος μεταξύ επιφανειών 4.png (70.64 KiB) Προβλήθηκε 329 φορές
Στο σχήμα αυτό έχουμε γεμίσει μερικώς το δοχείο αυτό με νερό μετακινώντας

των κυκλικό δίσκο του προηγούμενου σχήματος.

Σχήμα 3ο

Όγκος μεταξύ επιφανειών 6.png
Όγκος μεταξύ επιφανειών 6.png (58.91 KiB) Προβλήθηκε 329 φορές
Μια άλλη εικόνα του δοχείου αυτού με μια ποσότητα νερού.

(Συνεχίζεται...)

Κώστας Δόρτσιος


KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 2076
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Εύρεση όγκου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Τετ Μαρ 17, 2021 5:54 pm

grigkost έγραψε:
Πέμ Μαρ 04, 2021 12:01 pm
Ένα "δοχείο" σχηματίζεται από τις επιφάνειες S_1 (μπλε) και S_2 (καφέ) με παραμετρικές παραστάσεις
{\bf{X}}_1:[0,\pi]\times[0,2\pi]\longrightarrow\mathbb{R}^3\,;\; {\bf{X}}_1(u,v)=\begin{pmatrix} 
	2(u-\sin{u})\cos{v}\\ 
	2(u-\sin{u})\sin{v}\\ 
	2\cos{u} 
\end{pmatrix}
και {\bf{X}}_2:[0,\pi]\times[0,2\pi]\longrightarrow\mathbb{R}^3\,;\; {\bf{X}}_2(u,v)=\begin{pmatrix} 
	(\pi+u-\sin{u})\cos{v}\\ 
	(\pi+u-\sin{u})\sin{v}\\ 
	\cos{u}-1 
\end{pmatrix}\,, αντίστοιχα, που έχουν τομή τον κύκλο (2\pi\cos{t},2\pi\sin{t},-2)\,,\; t\in[0,2\pi].

Ποιά είναι η μεγαλύτερη ποσότητα (σε όγκο) υγρού που μπορούμε να ρίξουμε στο "δοχείο" ώστε αυτό να μην υπερχειλίσει έξω από την επιφάνεια S_2;

(Τελευταίο)

Υπολογισμός του όγκου του στερεού αυτού.

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

Όγκος μεταξύ επιφανειών 7.png
Όγκος μεταξύ επιφανειών 7.png (25.07 KiB) Προβλήθηκε 242 φορές
Το στερεό του οποίου ζητούμε τον όγκο είναι ένα στερεό εκ περιστροφής γύρω

από το άξονα \displaystyle{Oz} κατά γωνία ίση με \displaystyle{\phi=2\pi } των γραμμών:

\displaystyle{A\Gamma}, \displaystyle{A \Delta } και \displaystyle{  \Gamma  \Delta  \  \ (1) }.

Από τις καμπύλες αυτές η τρίτη δεν παράγει όγκο. Όμως οι άλλες δύο

παράγουν όγκους τους οποίους πρέπει τελικά να τους αφαιρέσουμε.

Οι παραμετρικές εξισώσεις των δυο αυτών γραμμών είναι:

\displaystyle{f_{A \Delta}=\begin{Bmatrix} 2(u-sinu) \\0\\2cosu \end{matrix}, \  \ u \in [\frac{\pi}{2}, \pi] \  \ (2) }

και

\displaystyle{f_{A \Gamma}=\begin{Bmatrix} \pi+u-sinu \\0\\cosu -1 \end{matrix}, \  \ u \in [0, \pi] \  \ (3) }

Ο τύπος που θα εφαρμόσουμε για τον υπολογισμό του όγκου αυτού για την πρώτη είναι:

\displaystyle{ V_{1,A\Delta}=V_{1,Oz}=\pi \left| \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}(2(u-sinu))^2 \cdot (2cosu)' du \right| =... \approx 55.13\ \ (4) }

Όμοια για τη δεύτερη είναι:

\displaystyle{ V_{2,A \Gamma}=V_{2,Oz}=\pi \left| \int_{0}^{\pi}(\pi +u-sinu)^2 \cdot (cosu-1)' du \right| = ...\approx 100.14  \ \ (5) }

Από τις (4) και (5) σχέσεις προκύπτει ότι ο ζητούμενος όγκος του "δοχείου" αυτού είναι:

\displaystyle{V=V_{2, A \Gamma}-V_{1,A \Delta}\approx 45.01 }

Τα δύο αυτό ολοκληρώματα υπολογίστηκα από το λογισμικό.

Κώστας Δόρτσιος


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες