Ερώτημα στο μάθημα της Κλασικής Μηχανικής

Συντονιστής: Πρωτοπαπάς Λευτέρης

TrItOs
Δημοσιεύσεις: 43
Εγγραφή: Τρί Ιουν 09, 2015 6:50 pm

Ερώτημα στο μάθημα της Κλασικής Μηχανικής

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από TrItOs » Τρί Ιαν 19, 2021 12:24 pm

Παραθέτω ένα πρόβλημα στο μάθημα της Κλασικής Μηχανικής στο οποίο θέλω να μου πείτε αν το επιλύω σωστά.

Πρόβλημα : Ομογενής ράβδος μάζα \displaystyle{M} και μήκους \displaystyle{L}, έχει αρθρωμένο το άκρο της \displaystyle{A} ενώ στο άκρο \displaystyle{B} φέρει συγκολλημένη μάζα \displaystyle{m = \frac{M}{10}}. Η ράβδος μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές στο κατακόρυφο επίπεδο. Αρχικά η ράβδος είναι κατακόρυφη και ακίνητη, αλλά με μια μικρή διαταραχή αρχίζει να πέφτει. Να υπολογίσετε:
(α) το αδρανειακό κέντρο \displaystyle{O} του στερεού σώματος.
(β) τις ροπές αδράνειας του στερεού σώματος ως προς το αδρανειακό κέντρο \displaystyle{I_{zz}^{O}} και ως προς το άκρο \displaystyle{A}, \displaystyle{I_{zz}^{A}}.
(γ) Η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου και η ταχύτητα του άκρου \displaystyle{B} όταν αυτή σχηματίζει γωνία \displaystyle{\varphi} με την κατακόρυφο.
(δ) Η γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου στην ίδια θέση καθώς και η επιτάχυνση του αδρανειακού κέντρου.

Απαντήσεις και Απορίες

Έχω υπολογίσει τα εξής:

(α) \displaystyle{AO = \frac{M \frac{L}{2} + m L}{M + m} = \frac{6}{11} L}, το αδρανειακό κέντρο \displaystyle{O} του στερεού σώματος.
(β) Υπολογίζονται ως εξής:
\displaystyle{I_{zz}^{O} = I_{zz}^{O,M} + I_{zz}^{O,m} = I_{zz} + M \Big( \frac{6}{11} L - \frac{1}{2} L \Big)^{2} + m \Big( L - \frac{6}{11} L \Big)^{2} =}

\displaystyle{= \frac{1}{12} M L^{2} + M \frac{L^{2}}{22^{2}} + \frac{M}{10} \frac{5^{2}}{11^{2}} L^{2} = \cdots = \frac{7}{66} M L^{2}}

\displaystyle{I_{zz}^{A} = I_{zz}^{O} + \big( M + m \big) \Big( \frac{6}{11} L \Big)^{2} = \cdots = \frac{13}{30} M L^{2}}

Η απορία μου βρίσκετε στο (γ) ερώτημα θέλω να μου πείτε αν το λύνω σωστά.

(γ) Επειδή η μόνη εξωτερική δύναμη που ασκείται στο στερεό σώμα είναι το βάρος του και αφού το βάρος είναι συντηρητική ή διατηρητική δύναμη, έπεται ότι ισχύει η Αρχή Διατήρηση της Ενέργειας. (\displaystyle{\leftarrow} μέχρι εδώ όλα είναι εντάξει ; σωστά εφαρμόζω την Αρχή Διατήρηση της Ενέργειας ;)

\displaystyle{E_{a} = E_{t} \Leftrightarrow U_{a} + \cancelto{0}{K_{a}} = U_{t} + K_{t} \Leftrightarrow}.

Μπορείτε να το ελέγξετε και να μου πείτε που υπάρχει λάθος ;

\displaystyle{\Leftrightarrow \big( M + m \big) g \Big( \frac{6}{11} L \Big) = \big( M + m \big) g \Big( \frac{6}{11} L \cos{\varphi} \Big) + \frac{1}{2} \big( M + m \big) \big| \big| \vec{u_{O}} \big| \big|^{2} + \frac{1}{2} I_{zz}^{A} w^{2} \Leftrightarrow}

\displaystyle{\Leftrightarrow \frac{3}{5} M g L = \frac{3}{5} M g L \cos{\varphi} + \frac{1}{2} \frac{11}{10} M \big| \big| \vec{u_{O}} \big| \big|^{2} + \frac{1}{2} \frac{13}{30} M L^{2} w^{2} \Leftrightarrow}

\displaystyle{\Leftrightarrow \boxed{ \frac{3}{5} g L ( 1 - \cos{\varphi} \big) = \frac{11}{20} \big| \big| \vec{u_{O}} \big| \big|^{2} + \frac{13}{60} L^{2} w^{2} }}

Και στη συνέχεια σύμφωνα με τον Νόμο των Ταχυτήτων έχουμε ότι:
\displaystyle{\vec{u_{O}} = \cancelto{\vec{0}}{\vec{u_{A}}} + \vec{w} \times \vec{AO} = \big( - w \quad \vec{k} \big) \times \Big( \frac{6}{11} \L \sin{\varphi} \quad \vec{i} + \frac{6}{11} L \cos{\varphi} \quad \vec{j} \Big) \Leftrightarrow}

\displaystyle{\Leftrightarrow \vec{u_{O}} = \frac{6}{11} L w \big( \cos{\varphi} , - \sin{\varphi} , 0 \big) \Rightarrow \boxed{ \big| \big| \vec{u_{O}} \big| \big| = \frac{6}{11} L \big| w \big| }}

Οπότε προκύπτει ότι:
\displaystyle{\frac{3}{5} g L ( 1 - \cos{\varphi} \big) = \frac{11}{20} \Big( \frac{6}{11} L w \Big)^{2} + \frac{13}{60} L^{2} w^{2} \Leftrightarrow \frac{3}{5} g ( 1 - \cos{\varphi} \big) = \frac{1}{20} L \frac{6^{2}}{11} w^{2} + \frac{13}{60} L w^{2} \Leftrightarrow}

\displaystyle{\Leftrightarrow \frac{3}{5} g ( 1 - \cos{\varphi} \big) = \frac{251}{660} L w^{2} \Leftrightarrow \boxed{ w = \sqrt{\frac{396 g \big( 1 - \cos{\varphi} \big)}{251 L}} } }

Είναι όλα σωστά εφαρμοσμένα ; Βοηθήστε με παρακαλώ και διορθώστε το λάθος, ευχαριστώ πολύ.

\displaystyle{\vec{u_{B}} = \cancelto{\vec{0}}{\vec{u_{A}}} + \vec{w} \times \vec{AB} = \big( - w \quad \vec{k} \big) \times \Big( L \sin{\varphi} \quad \vec{i} + L \cos{\varphi} \quad \vec{j} \Big) \Leftrightarrow}

\displaystyle{\Leftrightarrow \vec{u_{B}} = L w \big( \cos{\varphi} , - \sin{\varphi} , 0 \big) \Rightarrow \big| \big| \vec{u_{B}} \big| \big| = L w}

(δ) Εφαρμόζουμε τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα για την στροφική κίνηση στο σημείο Α ως εξής:

\displaystyle{\Sigma \Lambda_{A} = I_{zz}^{A} \dot{w} \Leftrightarrow M g \frac{L}{2} \sin{\varphi} + m g L \sin{\varphi} = \frac{13}{30} M L^{2} \dot{w} \Leftrightarrow}

\displaystyle{\Leftrightarrow \frac{3}{5} g \sin{\varphi} = \frac{13}{60} \dot{w} \Leftrightarrow \dot{w} = \frac{18 g \sin{\varphi}}{13 L}}

Και στη συνέχεια σύμφωνα με τον Νόμο των Επιταχύνσεων έχουμε ότι:
\displaystyle{\vec{a_{O}} = \cancelto{\vec{0}}{\vec{u_{A}}} + \vec{\dot{w}} \times \vec{AO} - w^{2} \vec{AO} = \big( - \dot{w} \quad \vec{k} \big) \times \Big( \frac{6}{11} L \sin{\varphi} \quad \vec{i} + \frac{6}{11} L \cos{\varphi} \quad \vec{j} \Big) - w^{2} \Big( \frac{6}{11} L \sin{\varphi} \quad \vec{i} + \frac{6}{11} L \cos{\varphi} \quad \vec{j} \Big) \Leftrightarrow}

\displaystyle{\Leftrightarrow \vec{a_{O}} = \frac{6}{11} L \big( \dot{w} \cos{\varphi} - w^{2} \sin{\varphi} , - \dot{w} \sin{\varphi} - w^{2} \cos{\varphi} , 0 \big)}
τελευταία επεξεργασία από TrItOs σε Τρί Ιαν 19, 2021 5:47 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13158
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ερώτημα στο μάθημα της Κλασικής Μηχανικής

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Ιαν 19, 2021 1:47 pm

TrItOs έγραψε:
Τρί Ιαν 19, 2021 12:24 pm

\displaystyle{\Sigma \Lambda_{A} = I_{zz}^{A} \cdot \dot{w} \Leftrightarrow M \cdot g \cdot \frac{L}{2} \cdot \sin{\varphi} + m \cdot g \cdot L \cdot \sin{\varphi} = \frac{13}{30} \cdot M \cdot L^{2} \cdot \dot{w} \Leftrightarrow}
.
Θα σου συνιστούσα ισχυρά να απαγκιστρωθείς από την συνήθεια να χρησιμοποιείς την κουκκίδα ως σύμβολο του πολλαπλασιασμού, που το έκανες κατά κόρον. Εδώ μάλιστα είναι διπλό το πρόβλημα γιατί το κείμενο έχει πολλά διανύσματα, για τα οποία η κουκκίδα χρησιμοποιείται για άλλη χρήση, συγκεκριμένα ως σύμβολο του εσωτερικού γινομένου. Είδα ότι χρησιμοποιείς πολλά εξωτερικά γινόμενα \times αλλά απέφυγα να διαβάσω το κείμενό σου αφού με δυσκολεύει ως προς την καλαισθησία του.

Μου θύμησε τα παιδικά μου χρόνια όπου κυκλοφορούσε μία "γλώσσα της πιάτσας", τα "ντανταΐδικα", στην οποία σε κάθε δεύτερη συλλαβή παρεμβάλεται ένα "ντα" και οι λέξεις προφέρονται μονορούφι. Για παράδειγμα αν ήθελες να πεις "είσαι καλά;¨ έλεγες "νταείντασέντακάνταλά;$ (χωρίς κενά μεταξύ των λέξεων αλλαμεσυνεχηροητουλογουχωριςδιακοπες. Σωσταδιαβασεςτοσυνεχεςκειμενο.

Με λίγη εξάσκηση μάθαινες να μιλάς ντανταΐδικα. Το πλεονέκτημα ήταν ότι σε καταλάβαιναν μόνο όσοι ήξεραν ντανταΐδικα, τα μέλη της συμμορίας δηλαδή, ενώ έμεναν έξω τα ... μαμόθρεφτα (λέγαμε εμείς).

Κάτι τέτοιο κάνεις παραπάνω. Σε κάθε δεύτερη συλλαβή έβαλες \cdot και άντε οι αδαείς σαν και μένα να τα διαβάσουν. Νταδεντακαντατανταλανταβαίντανωνταλένταξη,

Για την χρήση της κοκκίδας ως σύμβολο του πολλαπλασιασμού δες εδώ


TrItOs
Δημοσιεύσεις: 43
Εγγραφή: Τρί Ιουν 09, 2015 6:50 pm

Re: Ερώτημα στο μάθημα της Κλασικής Μηχανικής

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από TrItOs » Τρί Ιαν 19, 2021 5:39 pm

Υπάρχει δυνατότητα να ελεγχθεί το Πρόβλημα ως προς την ορθότητα της λύσης ;


TrItOs
Δημοσιεύσεις: 43
Εγγραφή: Τρί Ιουν 09, 2015 6:50 pm

Re: Ερώτημα στο μάθημα της Κλασικής Μηχανικής

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από TrItOs » Τρί Ιαν 19, 2021 5:50 pm

\displaystyle{\rightarrow}Είδα ότι χρησιμοποιείς πολλά εξωτερικά γινόμενα \times αλλά απέφυγα να διαβάσω το κείμενό σου αφού με δυσκολεύει ως προς την καλαισθησία του.\displaystyle{\leftarrow}

Ελπίζω τώρα να βοήθησε η αλλαγή που έκανα. Μπορείτε να με βοηθήσετε με το Πρόβλημα ως προς την επίλυσή του ;


TrItOs
Δημοσιεύσεις: 43
Εγγραφή: Τρί Ιουν 09, 2015 6:50 pm

Re: Ερώτημα στο μάθημα της Κλασικής Μηχανικής

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από TrItOs » Τρί Ιαν 19, 2021 10:26 pm

Είναι σωστή η λύση που παρουσιάζω ;


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης