Κυματική εξίσωση

Συντονιστής: Πρωτοπαπάς Λευτέρης

MathSc
Δημοσιεύσεις: 40
Εγγραφή: Παρ Αύγ 31, 2018 5:46 pm

Κυματική εξίσωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από MathSc » Τρί Μάιος 05, 2020 6:01 pm

Γεια σας! Προσπαθώ να λύσω αυτό εδώ το πρόβλημα.
u_{tt} - u_{xx} = 2 ( 1 - \frac{2x}{\pi}) for \left | t \right | < \infty , 0 < x < \pi
u(t,0) = u(t, \pi) = t^{2} for \left | t \right | < \infty

u(0,x) = \sin(x) , u_{t}(0,x) = \sin(x) for 0 < x < \pi.


Έθεσα v(t,x) = u(t,x) - ( 1 - \frac{x}{\pi})t^{2} - \frac{x}{\pi}t^{2} \Leftrightarrow \displaystyle{\Leftrightarrow v(t,x) = u(t,x) - t^{2}}
Τώρα v_{t} = u_{t} -2t, v_{x} = u_{x}, v_{tt} = u_{tt} - 2, v_{xx} = u_{xx}
άρα έχω
\displaystyle{v_{tt} - v_{xx} = u_{tt} - 2 - u_{xx} = - \frac{4x}{\pi}}
Το καινούριο πρόβλημα είναι

\displaystyle{v_{tt} - v_{xx}  = - \frac{4x}{\pi}} ,
\displaystyle{v(t,0) = v(t, \pi) = 0} ,
\displaystyle{v(0,x)= \sin(x) , v_{t}(0,x) = \sin(x)}

Έχω διαβάσει για τις σειρές Fourier και τους συντελεστές Fourier που χρησιμοποιούμε σε τέτοια προβλήματα αλλά δυσκολεύομαι να το επιλύσω αφού έχω f(t,x) = - \frac{4x}{\pi} .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1836
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Κυματική εξίσωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Τρί Μάιος 05, 2020 6:15 pm

MathSc έγραψε:
Τρί Μάιος 05, 2020 6:01 pm
Το καινούριο πρόβλημα είναι

\displaystyle{v_{tt} - v_{xx}  = - \frac{4x}{\pi}} ,
\displaystyle{v(t,0) = v(t, \pi) = 0} ,
\displaystyle{v(0,x)= \sin(x) , v_{t}(0,x) = \sin(x)}

Έχω διαβάσει για τις σειρές Fourier και τους συντελεστές Fourier που χρησιμοποιούμε σε τέτοια προβλήματα αλλά δυσκολεύομαι να το επιλύσω αφού έχω f(t,x) = - \frac{4x}{\pi} .
Ως προς τον χρόνο

F\{u(.,t)\}=F(z)

και F\{u_{tt}\}=-z^2F(z),~~F\{u_{xx}\}=F''(z),~~ F\{\dfrac{4x}{\pi}\}=\dfrac{4x}{\pi} \delta(z)

καταλήγεις δηλαδή στην

 F''(z)+z^2F(z)=\dfrac{4x}{\pi} \delta(z) ;;;


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1836
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Κυματική εξίσωση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Τρί Μάιος 05, 2020 6:48 pm

Νομίζω αν δοκιμάσουμε την αντικατάσταση

\frac{x}{\pi} \to z
και
v=u-t^2 z προκύπτει κάτι πιο απλό


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3028
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Κυματική εξίσωση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Μάιος 05, 2020 6:58 pm

MathSc έγραψε:
Τρί Μάιος 05, 2020 6:01 pm
Γεια σας! Προσπαθώ να λύσω αυτό εδώ το πρόβλημα.
u_{tt} - u_{xx} = 2 ( 1 - \frac{2x}{\pi}) for \left | t \right | < \infty , 0 < x < \pi
u(t,0) = u(t, \pi) = t^{2} for \left | t \right | < \infty

u(0,x) = \sin(x) , u_{t}(0,x) = \sin(x) for 0 < x < \pi.


Έθεσα v(t,x) = u(t,x) - ( 1 - \frac{x}{\pi})t^{2} - \frac{x}{\pi}t^{2} \Leftrightarrow \displaystyle{\Leftrightarrow v(t,x) = u(t,x) - t^{2}}
Τώρα v_{t} = u_{t} -2t, v_{x} = u_{x}, v_{tt} = u_{tt} - 2, v_{xx} = u_{xx}
άρα έχω
\displaystyle{v_{tt} - v_{xx} = u_{tt} - 2 - u_{xx} = - \frac{4x}{\pi}}
Το καινούριο πρόβλημα είναι

\displaystyle{v_{tt} - v_{xx}  = - \frac{4x}{\pi}} ,
\displaystyle{v(t,0) = v(t, \pi) = 0} ,
\displaystyle{v(0,x)= \sin(x) , v_{t}(0,x) = \sin(x)}

Έχω διαβάσει για τις σειρές Fourier και τους συντελεστές Fourier που χρησιμοποιούμε σε τέτοια προβλήματα αλλά δυσκολεύομαι να το επιλύσω αφού έχω f(t,x) = - \frac{4x}{\pi} .
Για να λυθεί πρέπει να το κάνεις ομογενές.
το έχεις πάει στο.
\displaystyle{v_{tt} - v_{xx}  = - \frac{4x}{\pi}} ,
\displaystyle{v(t,0) = v(t, \pi) = 0} ,
\displaystyle{v(0,x)= \sin(x) , v_{t}(0,x) = \sin(x)}

βρες q(x) συνάρτηση ώστε αν θέσεις v(t,x)=V(t,x)+q(x)
να έχεις
\displaystyle{V_{tt} - V_{xx}  = 0 ,
\displaystyle{V(t,0) = V(t, \pi) = 0} ,
\displaystyle{V(0,x)= ..... , V_{t}(0,x) = ....
Η επίλυση του τελευταίου είναι στάνταρ.


MathSc
Δημοσιεύσεις: 40
Εγγραφή: Παρ Αύγ 31, 2018 5:46 pm

Re: Κυματική εξίσωση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από MathSc » Τετ Μάιος 06, 2020 5:12 pm

Έθεσα v(t,x)=V(t,x)+q(x)
και αν δεν έκανα κάποιο αριθμητικό λάθος βρήκα ότι q(x) = \frac{2x}{3\pi} - \frac{2\pi x}{3}
και κατέληξα στο σύστημα
\displaystyle{V_{tt} - V_{xx}  = 0 ,
\displaystyle{V(t,0) = V(t, \pi) = 0} ,
\displaystyle{V(0,x)= \sin(x) - \frac{2x}{3\pi} + \frac{2\pi x}{3}, V_{t}(0,x) = \sin(x)

Για να λυθεί δεν θα έπρεπε να καταφέρω οι συνθήκες μου να έχουν μορφή ημιτονικού αθροίσματος;


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3028
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Κυματική εξίσωση

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Μάιος 06, 2020 5:52 pm

MathSc έγραψε:
Τετ Μάιος 06, 2020 5:12 pm
Έθεσα v(t,x)=V(t,x)+q(x)
και αν δεν έκανα κάποιο αριθμητικό λάθος βρήκα ότι q(x) = \frac{2x}{3\pi} - \frac{2\pi x}{3}
και κατέληξα στο σύστημα
\displaystyle{V_{tt} - V_{xx}  = 0 ,
\displaystyle{V(t,0) = V(t, \pi) = 0} ,
\displaystyle{V(0,x)= \sin(x) - \frac{2x}{3\pi} + \frac{2\pi x}{3}, V_{t}(0,x) = \sin(x)

Για να λυθεί δεν θα έπρεπε να καταφέρω οι συνθήκες μου να έχουν μορφή ημιτονικού αθροίσματος;
Είναι \displaystyle q(x) = \frac{2x^3}{3\pi} - \frac{2\pi x}{3}
οπότε θέλει διόρθωση και η
\displaystyle{V(0,x)= \sin(x) - \frac{2x}{3\pi} + \frac{2\pi x}{3}

Το πρόβλημα

\displaystyle{V_{tt} - V_{xx}  = 0,0<x<\pi ,t>0 ,
\displaystyle{V(t,0) = V(t, \pi) = 0} ,
\displaystyle{V(0,x)= f(x), V_{t}(0,x) = g(x)

λύνεται αναπτύσσοντας της  f(x),  g(x) σε σειρές Fourier .
(Υπάρχει σε σχεδόν όλα τα βιβλία Μ.Δ.Ε)

Βλέπω ότι έχεις |t|<\infty
Πρώτη φορά βλέπω σε κυματική αρνητικό χρόνο.
Σίγουρα είναι έτσι;
Από που είναι η άσκηση αν επιτρέπεται.


MathSc
Δημοσιεύσεις: 40
Εγγραφή: Παρ Αύγ 31, 2018 5:46 pm

Re: Κυματική εξίσωση

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από MathSc » Τρί Μάιος 12, 2020 5:02 am

Γεια σας! Αρχικά να ζητήσω συγγνώμη που έκανα τόσες μέρες να απαντήσω. Έκατσα και ξαναδιάβασα για την κυματική εξίσωση και κατάλαβα κάποια πράγματα που δεν είχα καταλάβει καλά.
Είχα το σύστημα:
u_{tt} - u_{xx} = 2 ( 1 - \frac{2x}{\pi}) for \left | t \right | < \infty , 0 < x < \pi
u(t,0) = u(t, \pi) = t^{2} for \left | t \right | < \infty

u(0,x) = \sin(x) , u_{t}(0,x) = \sin(x) for 0 < x < \pi.


Έθεσα v(t,x) = u(t,x) - ( 1 - \frac{x}{\pi})t^{2} - \frac{x}{\pi}t^{2} \Leftrightarrow \displaystyle{\Leftrightarrow v(t,x) = u(t,x) - t^{2}}
Τώρα v_{t} = u_{t} -2t, v_{x} = u_{x}, v_{tt} = u_{tt} - 2, v_{xx} = u_{xx}
άρα έχω
\displaystyle{v_{tt} - v_{xx} = u_{tt} - 2 - u_{xx} = - \frac{4x}{\pi}}
Το καινούριο πρόβλημα είναι

\displaystyle{v_{tt} - v_{xx}  = - \frac{4x}{\pi}} ,
\displaystyle{v(t,0) = v(t, \pi) = 0} ,
\displaystyle{v(0,x)= \sin(x) , v_{t}(0,x) = \sin(x)}

Τώρα με χρήση σειρών και συντελεστών Fourier έχω:

f(t,x) = - \frac{4x}{\pi} και f_{k}(t)= \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi}f(t,x)\sin(kx)dx .
Προκύπτει f_{k}(t)= \begin{cases} 
   \frac{8}{k\cdot  \pi}  k= \alpha \rho \tau \iota o\varsigma    \\  
 -\frac{8}{k\cdot  \pi} k= \pi \epsilon \rho \iota \tau \tau o\varsigma   
\end{cases}

Επίσης \phi (x) = \sin(x) και  \phi (x) = \sum_{k=1}^{\infty } a_{k} \sin(k x) άρα a_{1} = 1 , a_{k} = 0 για τα άλλα k.
Ανάλογα \psi (x) = \sin(x) και  \phi (x) = \sum_{k=1}^{\infty } b_{k} \sin(k x) άρα b_{1} = 1 , b_{k} = 0 για τα άλλα k.

Μετά διάβασα ότι για να βρω την v(t,x) πρέπει να λύσω το σύστημα

v''_{k} + k^{2}v_{k} = f_{k} ,
v_{k}(0) = a_{k} ,
v'_{k}(0) = b_{k}

ώστε να βρω τα v_{k} και από τη σχέση  v(t,x) = \sum_{k=1}^{\infty } v_{k}(t) \sin(k x)  να βρω την v(t,x) και μετά την u(t,x).

Η απορία μου είναι η εξής. Πρέπει να λύσω το σύστημα για k=1, για k άρτιο και για k περιττό και να βρω τα v_{k} σε κάθε περίπτωση, σωστά; Και μετά να τα βάλω στο άθροισμα για να βρω την v(t,x).


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης