mathematica.gr

Σε ένα παιχνίδι με μερικές —γαλλικές— τράπουλες —των φύλλων— η αξία των τραπουλόχαρτων είναι η εξής:

(Ρήγας) μονάδες

(Ντάμα) μονάδες

(Βαλές) μονάδες


(Άσσος) μονάδα

μονάδες

μονάδες

κ.ο.κ.

Ένας παίκτης σταμάτησε να συλλέγει ένα-ένα φύλλο από κάποιες τράπουλες, μόλις η συνολική αξία των φύλλων του, ξεπέρασε τις μονάδες· συγκεντρώνοντας έτσι φύλλα, να βρεθεί το ελάχιστο πλήθος τραπουλών από τις οποίες σύλλεξε φύλλα ο παίκτης.


Κατά την τελευταία επεξεργασία:

Nikitas K. έγραψε: ↑

Σάβ Αύγ 09, 2025 1:15 pm

Σε ένα παιχνίδι —γαλλικής— τράπουλας —των φύλλων— η αξία των τραπουλόχαρτων είναι η εξής:

(Ρήγας) μονάδες

(Ντάμα) μονάδες

(Βαλές) μονάδες


(Άσσος) μονάδα.

μονάδες

μονάδες

κ.ο.κ. μέχρι το φύλλο:

μονάδες


Ένας παίκτης σταμάτησε να συλλέγει ένα-ένα φύλλο από μερικές τράπουλες, μόλις η συνολική αξία των φύλλων του, ξεπέρασε τις μονάδες· στο τέλος διαπίστωσε ότι είχε φύλλα, να βρεθεί το ελάχιστο πλήθος τραπουλών από τις οποίες σύλλεξε φύλλα ο παίκτης.

.
Αν καταλαβαίνω σωστά, η ερώτηση είναι ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός από τράπουλες που πρέπει να χρησιμοποιήσουμε έτσι ώστε ο παίκτης να μπορεί να τραβήξει φύλλα συνολικής αξίας μεγαλύτερης του αλλά το άθροισμα των φύλλων του να μην ξεπερνά το πριν επιλέξει το δέκατο όγδοο φύλλο του. Με αυτό κατά νου:

α) Πρώτα από όλα τα φύλλα του δεν μπορεί να είναι όλα άσσοι διότι . Άρα οι άσσοι πρέπει να είναι ή λιγότεροι.

β) Δεν μπορεί να έχει συνολικά ή λιγότερους άσσους γιατί ήδη στα φύλλα θα ξεπεράσει το άθροισμα και πρέπει να σταματήσει: Πράγματι, το σύνολο των αρχικών του φύλλων θα είναι τότε .
Συμπεραίνουμε ότι οι άσσοι που έχει πρέπει να έχει είναι είτε είτε είτε είτε . Άρα χρειάζεται ή περισσότερες τράπουλες αφού η κάθε μία έχει ακριβώς άσσους.

Θα δούμε ότι οι τράπουλες του αρκούν: Πράγματι

Με άσσους από τις τράπουλες μπορούμε να βρούμε φύλλα που έχουν άθροισμα . Μία επιλογή είναι η . Σε αυτή την περίπτωση των άσσων δεν ξεπερνά το με φύλλα αφού .

Άρα ο μικρότερος αριθμός από τράπουλες που μπορεί να χρησιμοποιήσει είναι τέσσερις. (Αποδεικνύεται ότι και με ή άσσους πάλι κάνει την δουλειά του).

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑

Σάβ Αύγ 09, 2025 6:42 pm

Αν καταλαβαίνω σωστά, η ερώτηση είναι ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός από τράπουλες που πρέπει να χρησιμοποιήσουμε έτσι ώστε ο παίκτης να μπορεί να τραβήξει φύλλα συνολικής αξίας μεγαλύτερης του αλλά το άθροισμα των φύλλων του να μην ξεπερνά το πριν επιλέξει το δέκατο όγδοο φύλλο του.

Αυτό ακριβώς συμβαίνει, ωραία λύση (ως δημιουργός του θέματος) έχω κι εγώ μια διαφορετική λύση με λιγότερη έμφαση στους άσσους...

Έστω, ότι ο παίκτης σύλλεξε φύλλα από το πολύ τράπουλες.
Όταν κατά την διαδικασία συλλέγονται φύλλα με την μικρότερη δυνατή αξία όπως σ' αυτήν την ακολουθία επιτυγχάνεται το μέγιστο πλήθος φύλλων που θα μπορούσε να έχει ο παίκτης στο τέλος της· το πολύ φύλλα· άτοπο.
Συλλέγοντας φύλλα από ακριβώς τράπουλες ένα ενδεχόμενο που ικανοποιεί τα δεδομένα είναι η ακολουθία
Άρα το ελάχιστο πλήθος τραπουλών από τις οποίες σύλλεξε φύλλα ο παίκτης είναι ίσο με