mathematica.gr

Τέσσερα καγκουρό και τέσσερα σκιουράκια αφού μάζεψαν φουντούκια, αποφάσισαν να παίξουν ένα τυχερό
παιχνίδι. Στο τέλος του παιχνιδιού, είχαμε τα εξής αποτελέσματα:

*** Το έχασε από το διπλάσια φουντούκια από όσα κέρδισε από το ενώ έχασε από το όσα είχε κερδίσει από το το

*** To έχασε από το τα τριπλάσια από όσα κέρδισε από το ενώ κέρδισε από το

*** Το κέρδισε από το και έχασε από το

*** To έχασε από το τα τριπλάσια από όσα είχε κερδίσει από το ενώ κέρδισε από το

*** Όλα τα σκιουράκια ήταν τελικά κερδισμένα

Να αποδείξετε ότι το πολύ τρία σκιουράκια κέρδισαν περισσότερα από ένα φουντούκι.

ΣΗΜ: Διόρθωσα αντί για δύο το πολύ σε τρία το πολύ, απροσεξία μου (στις περιπτώσεις που πήρα), που μου επεσήμανε ο Γιώργος Ρίζος

Επιχειρώ μια απάντηση με διάκριση περιπτώσεων, μετά τη συμπλήρωση του Δημήτρη.

Το σκιουράκι κέρδισε από το καγκουρό κι έχασε από το καγκουρό . Οπότε κέρδισε (1).
Το σκιουράκι κέρδισε από το καγκουρό κι έχασε από το καγκουρό και από το . Οπότε κέρδισε (2).
Το σκιουράκι κέρδισε από το καγκουρό κι έχασε από το καγκουρό .Οπότε κέρδισε (3).
Το σκιουράκι κέρδισε από το καγκουρό και από το καγκουρό και έχασε από το και από το . Οπότε κέρδισε (4).

Αν , τότε από (2) , αδύνατο. Άρα ή .
Έστω . Τότε η (2) δίνει και η (3) , οπότε η (4) είναι αδύνατη.
Άρα . Οπότε το σκιουράκι κέρδισε φουντoύκι. Μένει να ελέγξουμε αν υπάρχει περίπτωση τρία σκιουράκια να κέρδισαν πάνω από ένα φουντούκι.

H (2) γίνεται .
Αν και , τότε τα σκιουράκια και κέρδισαν φουντoύκια. Τότε, . Το κέρδισε 3 φουντούκια.
Έτσι, τρία σκιουράκια κέρδισαν περισσότερα από ένα φουντούκι, όπως θέλαμε να αποδείξουμε. Kαλοφάγοτα, εύχομαι!