Κατασκευή και υπολογισμός

KARKAR · #1

: Κατασκευή και υπολογισμός.png (13.64 KiB) Προβλήθηκε 420 φορές

Ήρθε η στιγμή για θέμα του φακέλου : " Όποιος δεν έχει βάσανα και θέλει ν' αποκτήσει ..." . Λοιπόν ,

στο τρίγωνο ABC

, είναι :

. Εγγράψτε το τετράγωνο SPQT

,

με την

επί της πλευράς

και κυρίως , υπολογίστε το εμβαδόν του !

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 29, 2022 8:41 pm
Κατασκευή και υπολογισμός.pngΉρθε η στιγμή για θέμα του φακέλου : " Όποιος δεν έχει βάσανα και θέλει ν' αποκτήσει ..." . Λοιπόν ,

στο τρίγωνο , είναι : . Εγγράψτε το τετράγωνο ,

με την επί της πλευράς και κυρίως , υπολογίστε το εμβαδόν του !

Εξωτερικά του τριγώνου, ABC

κατασκευάζω τετράγωνο ACHF

. Οι $AF\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AH$ τέμνουν την

στα $T\,\,\kappa \alpha \iota \,\,Q$ .

Εύκολα βρίσκω με διάφορους τρόπους το ύψος $h = BK = \dfrac{{21\sqrt {15} }}{{16}}\,\,\,\left( 1 \right)$ (π.χ. από τον τύπο $h = \dfrac{2}{b}\sqrt {s\left( {s - a} \right)\left( {s - b} \right)\left( {s - c} \right)} \,\,,2s = a + b + c$ ).

: κατασκευή και υπολογισμός_KARKAR.png (20.84 KiB) Προβλήθηκε 383 φορές

Αν το ύψος

κόψει την

στο

θα ισχύει : $\dfrac{{BE}}{{BK}} = \dfrac{{TQ}}{{AC}}$ .

Από την $\left( 1 \right)$ και με TQ = x

έχω: $\boxed{\frac{{h - x}}{h} = \frac{x}{8} \Rightarrow x = \frac{{ - 52920 + 21504\sqrt {15} }}{{9769}}}$ .

${x^2} \simeq 9,661306914$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 29, 2022 8:41 pm
Κατασκευή και υπολογισμός.pngΉρθε η στιγμή για θέμα του φακέλου : " Όποιος δεν έχει βάσανα και θέλει ν' αποκτήσει ..." . Λοιπόν ,

στο τρίγωνο , είναι : . Εγγράψτε το τετράγωνο ,

με την επί της πλευράς και κυρίως , υπολογίστε το εμβαδόν του !

Η κατασκευή με ομοιοθεσία όπως και ο Νίκος.

: Κατασκευή και υπολογισμός.ΚΑ.png (12.46 KiB) Προβλήθηκε 349 φορές

Από την ομοιότητα των τριγώνων ABC, SBP,

είναι $\displaystyle \frac{{BS}}{6} = \frac{x}{8} \Leftrightarrow BS = \frac{{3x}}{4}$ και υπολογίζοντας το εμβαδόν του

ABC

με δύο τρόπους (Ήρωνα και τριγωνομετρικά) βρίσκω $\displaystyle \frac{{21\sqrt {15} }}{4} = \frac{1}{2}6 \cdot 8\sin A \Leftrightarrow \sin A = \frac{{7\sqrt {15} }}{{32}}$

Αλλά, $\displaystyle \sin A = \frac{x}{{AS}} \Leftrightarrow AS = \frac{{32x}}{{7\sqrt {15} }}$ και $\displaystyle AS + BS = 6 \Leftrightarrow \frac{{32x}}{{7\sqrt {15} }} + \frac{{3x}}{4} = 6 \Leftrightarrow x = \frac{{168\sqrt {15} }}{{128 + 21\sqrt {15} }}$

Τέλος, $\boxed{(SPQT) = {\left( {\frac{{168\sqrt {15} }}{{128 + 21\sqrt {15} }}} \right)^2} = \frac{{423360}}{{22999 + 5376\sqrt {15} }}}$

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 29, 2022 8:41 pm
Κατασκευή και υπολογισμός.pngΉρθε η στιγμή για θέμα του φακέλου : " Όποιος δεν έχει βάσανα και θέλει ν' αποκτήσει ..." . Λοιπόν ,

στο τρίγωνο , είναι : . Εγγράψτε το τετράγωνο ,

με την επί της πλευράς και κυρίως , υπολογίστε το εμβαδόν του !

Για την ιστορία, η άσκηση αυτή είναι (ή μάλλον, ήταν) αρκετά γνωστή, τουλάχιστον όταν η Γεωμετρία ήταν ουσιαστικό μάθημα στα Μαθηματικά του Σχολείου. Υπήρχε σε όλα σχεδόν τα παλιά βιβλία Γεωμετρίας. Για παράδειγμα ο Τόγκας την έχει λυμένη στην σελίδα 401 της Γεωμετρίας του (η λύση που δίνει, είναι διαφορετική από του Νίκου και του Γιώργου, παραπάνω).

Αλλά η ιστορία της άσκησης δεν αρχίζει εκεί. Το σημαντικό είναι ότι την έχει ως παράδειγμα (αλλά με ισοκελές αρχικό τρίγωνο, πλευρών 10-10-12) ο Al-Khowarizmi (780-850) στην περίφημη Άλγεβρά του. Είναι ένα από τα παραδείγματα όπου λύνει γεωμετρικό πρόβλημα με χρήση δευτεροβάθμιας.

Η Άλγεβρα του Al-Khowarizmi θεωρείται το πρώτο βιβλίο Άλγεβρας και, από αυτό, ο ίδιος θεωρείται από πολλούς ως ο πατέρας της Άλγεβρας. (Την γνώμη αυτή δεν την ενστερνίζομαι και έχω καλό λόγο να την απορρίπτω, αποδίδοντας τα πρωτεία στον Διόφαντο. Δεν είναι της ώρας).

Κατασκευή και υπολογισμός

Κατασκευή και υπολογισμός

Re: Κατασκευή και υπολογισμός

Re: Κατασκευή και υπολογισμός

Re: Κατασκευή και υπολογισμός

Μέλη σε σύνδεση