Δέκα αριθμοί

#1

Δώστε παράδειγμα δέκα διαφορετικών ανά δύο φυσικών αριθμών που ο καθένας διαιρεί το άθροισμα των δέκα αυτών αριθμών,

(Εννοείται ότι γενικεύεται και για περισσότερους από δέκα. Ως άσκηση είναι προσιτή και σε μαθητές του Δημοτικού, αλλά πρέπει να είναι πονηροί...)

#2

Δώστε μου εννιά από τους αριθμούς και θα σας δώσω τον δέκατο.

nikkru · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 27, 2022 9:38 pm
Δώστε παράδειγμα δέκα διαφορετικών ανά δύο φυσικών αριθμών που ο καθένας διαιρεί το άθροισμα των δέκα αυτών αριθμών,

(Εννοείται ότι γενικεύεται και για περισσότερους από δέκα. Ως άσκηση είναι προσιτή και σε μαθητές του Δημοτικού, αλλά πρέπει να είναι πονηροί...)

Μία δεκάδα αριθμών που ζητάμε είναι οι: 1,2,3,6,12,24,48,96,192,384

.
Γενικά για κάθε φυσικό

η δεκάδα:

ικανοποιεί το ζητούμενο.( πρώτος όρος οποιοσδήποτε φυσικός, δεύτερος όρος το διπλάσιο του πρώτου όρου και κάθε επόμενος όρος ισούται με το άθροισμα όλων των προηγούμενων όρων).
Προφανώς ισχύει και στην περίπτωση που ζητούνται λιγότεροι ή περισσότεροι από δέκα φυσικοί.

#4

Ας εξηγήσω πώς σκεπτόμαστε (το κύριο βήμα το αναφέρει ο Δημήτρης).

Πες ότι βρήκαμε

αριθμούς $a_1,\, a_2,\, ... \, a_k$ , με την εν λόγω ιδιότητα, δηλαδή καθένας από αυτούς διαιρεί το άθροισμά τους

. Παρατηρώ τότε ότι οι k+1

αριθμοί $a_1,\, a_2,\, ... \, a_k,\, S$ , επίσης έχουν την ιδιότητα γιατί ο καθένας διαιρεί το άθροισμά τους το οποίο είναι βέβαια a_1+ a_2+ ... + a_k+S=2S

(προφανές).

Δηλαδή αν βρω κάποιους (λίγους) αρχικούς που μου κάνουν την δουλειά, τότε μπορώ να προσθέσω διαδοχικά (έναν τη φορά) όσους θέλω, που επίσης κάνουν την δουλειά.

Το ξεκίνημα μπορεί να γίνει με τρεις αρχικούς, τους $1,\,2,\,3$ οι οποίοι διαιρούν το άθροισμά τους 1+2+3=6

.

Σύμφωνα με τα παραπάνω, έχω αμέσως τέσσερις με την ίδια ιδιότητα, τους $1,\,2,\,3,\,6$ , με άθροισμα

. Κατόπιν μπορώ να προσθέσω έναν ακόμη και να πάρω τους $1,\,2,\,3,\,6, \,12$ , με άθροισμα

, και ούτω καθεξής.

Τελικά οι αριθμοί που παίρνω είναι οι $\boxed {1,\,2, \, 3\times 1,\, 3\times 2,\ 3\times 2^2,\, ...\,,\, 3\times 2^{n-1}}$ . Έλεγχος: Έχουν άθροισμα $1+2+3(2^n-1)=3\times 2^n$ . Μας κάνει.

#5

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 29, 2022 1:12 am

Το ξεκίνημα μπορεί να γίνει με τρεις αρχικούς, τους $1,\,2,\,3$ οι οποίοι διαιρούν το άθροισμά τους .

Ας αποδείξουμε ότι η παραπάνω περίπτωση είναι ουσιαστικά η μοναδική. Με άλλα λόγια αν $a,\,b,\,c$ διαφορετικοί ανά δύο φυσικοί αριθμοί ο καθένας από τους οποίους διαιρεί το άθροισμά τους, τότε οι αριθμοί είναι της μορφής $m,\, 2m,\, 3m$ για κάποιον φυσικό

.

abfx · #6

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 29, 2022 2:50 pm
Ας αποδείξουμε ότι η παραπάνω περίπτωση είναι ουσιαστικά η μοναδική. Με άλλα λόγια αν $a,\,b,\,c$ διαφορετικοί ανά δύο φυσικοί αριθμοί ο καθένας από τους οποίους διαιρεί το άθροισμά τους, τότε οι αριθμοί είναι της μορφής $m,\, 2m,\, 3m$ για κάποιον φυσικό .

Ας είναι

τέτοιοι αριθμοί. Είναι:
$c\mid a+b+c$ και $c\mid c$ , οπότε $c\mid a+b<2c$ άρα a+b=c

.
Έπειτα $b\mid a+b+c \implies b\mid 2(a+b) \implies b\mid 2a<2b$ ,οπότε b=2a

,
άρα και c=2a+a=3a

,που ήταν το ζητούμενο.

Δέκα αριθμοί

Δέκα αριθμοί

Re: Δέκα αριθμοί

Re: Δέκα αριθμοί

Re: Δέκα αριθμοί

Re: Δέκα αριθμοί

Re: Δέκα αριθμοί

Μέλη σε σύνδεση