Δέκα αριθμοί
Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Δέκα αριθμοί
Δώστε παράδειγμα δέκα διαφορετικών ανά δύο φυσικών αριθμών που ο καθένας διαιρεί το άθροισμα των δέκα αυτών αριθμών,
(Εννοείται ότι γενικεύεται και για περισσότερους από δέκα. Ως άσκηση είναι προσιτή και σε μαθητές του Δημοτικού, αλλά πρέπει να είναι πονηροί...)
(Εννοείται ότι γενικεύεται και για περισσότερους από δέκα. Ως άσκηση είναι προσιτή και σε μαθητές του Δημοτικού, αλλά πρέπει να είναι πονηροί...)
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Δέκα αριθμοί
Μία δεκάδα αριθμών που ζητάμε είναι οι: .Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Δευ Ιουν 27, 2022 9:38 pmΔώστε παράδειγμα δέκα διαφορετικών ανά δύο φυσικών αριθμών που ο καθένας διαιρεί το άθροισμα των δέκα αυτών αριθμών,
(Εννοείται ότι γενικεύεται και για περισσότερους από δέκα. Ως άσκηση είναι προσιτή και σε μαθητές του Δημοτικού, αλλά πρέπει να είναι πονηροί...)
Γενικά για κάθε φυσικό η δεκάδα: ικανοποιεί το ζητούμενο.( πρώτος όρος οποιοσδήποτε φυσικός, δεύτερος όρος το διπλάσιο του πρώτου όρου και κάθε επόμενος όρος ισούται με το άθροισμα όλων των προηγούμενων όρων).
Προφανώς ισχύει και στην περίπτωση που ζητούνται λιγότεροι ή περισσότεροι από δέκα φυσικοί.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Δέκα αριθμοί
Ας εξηγήσω πώς σκεπτόμαστε (το κύριο βήμα το αναφέρει ο Δημήτρης).
Πες ότι βρήκαμε αριθμούς , με την εν λόγω ιδιότητα, δηλαδή καθένας από αυτούς διαιρεί το άθροισμά τους . Παρατηρώ τότε ότι οι αριθμοί , επίσης έχουν την ιδιότητα γιατί ο καθένας διαιρεί το άθροισμά τους το οποίο είναι βέβαια (προφανές).
Δηλαδή αν βρω κάποιους (λίγους) αρχικούς που μου κάνουν την δουλειά, τότε μπορώ να προσθέσω διαδοχικά (έναν τη φορά) όσους θέλω, που επίσης κάνουν την δουλειά.
Το ξεκίνημα μπορεί να γίνει με τρεις αρχικούς, τους οι οποίοι διαιρούν το άθροισμά τους .
Σύμφωνα με τα παραπάνω, έχω αμέσως τέσσερις με την ίδια ιδιότητα, τους , με άθροισμα . Κατόπιν μπορώ να προσθέσω έναν ακόμη και να πάρω τους , με άθροισμα , και ούτω καθεξής.
Τελικά οι αριθμοί που παίρνω είναι οι . Έλεγχος: Έχουν άθροισμα . Μας κάνει.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Δέκα αριθμοί
Ας αποδείξουμε ότι η παραπάνω περίπτωση είναι ουσιαστικά η μοναδική. Με άλλα λόγια αν διαφορετικοί ανά δύο φυσικοί αριθμοί ο καθένας από τους οποίους διαιρεί το άθροισμά τους, τότε οι αριθμοί είναι της μορφής για κάποιον φυσικό .Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Τετ Ιουν 29, 2022 1:12 am
Το ξεκίνημα μπορεί να γίνει με τρεις αρχικούς, τους οι οποίοι διαιρούν το άθροισμά τους .
Re: Δέκα αριθμοί
Ας είναι τέτοιοι αριθμοί. Είναι:Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Τετ Ιουν 29, 2022 2:50 pmΑς αποδείξουμε ότι η παραπάνω περίπτωση είναι ουσιαστικά η μοναδική. Με άλλα λόγια αν διαφορετικοί ανά δύο φυσικοί αριθμοί ο καθένας από τους οποίους διαιρεί το άθροισμά τους, τότε οι αριθμοί είναι της μορφής για κάποιον φυσικό .
και , οπότε άρα .
Έπειτα ,οπότε ,
άρα και ,που ήταν το ζητούμενο.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 8 επισκέπτες