Ανισότητα

mick7 · #1

Να δειχθεί για όλα τα πραγματικά

ότι

Maria-Eleni Nikolaou · #2

mick7 έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 10, 2022 4:06 pm
Να δειχθεί για όλα τα πραγματικά ότι

Είναι: $4(x^{3}+x+1)\leq (x^{2}+1)(x^{2}+5)\Leftrightarrow 4x^{3}+4x+4\leq x^{4}+5x^{2}+x^{2}+5\Leftrightarrow x^{4}-4x^{3}+6x^{2}-4x+1\geq 0$
Τελικά: $(x-1)^{4}\geq 0$ ισχύει.

#3

Έχουμε

$\displaystyle \begin{aligned} (x^2+5)(x^2+1) -4(x^3+x+1) &= (x^2+1)^2 + 4(x^2+1) - 4x(x^2+1) - 4 \\ &= (x^2+1)^2 - 4x(x^2+1) + 4x^2 \\ &= (x^2+1-2x)^2 \geqslant 0 \end{aligned}$

mick7 · #4

ΠΗΓΗ

#5

Καλησπέρα σε όλους. Αναρωτιέμαι, αν η άσκηση απευθυνόταν σε μαθητές Γ΄ Λυκείου, η πλειψηφία των μαθητών που θα την έλυναν, θα έδινε Αλγεβρική λύση, όπως οι δύο παραπάνω ή την παρακάτω;

Είναι: $4({x^3} + x + 1) \le ({x^2} + 1)({x^2} + 5) \Leftrightarrow 4{x^3} + 4x + 4 \le {x^4} + 5{x^2} + {x^2} + 5 \Leftrightarrow {x^4} - 4{x^3} + 6{x^2} - 4x + 1 \ge 0$

Η συνάρτηση $\displaystyle f\left( x \right) = {x^4} - 4{x^3} + 6{x^2} - 4x + 1$ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο

με $\displaystyle f''\left( x \right) = 12{\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0$ , οπότε είναι κυρτή.

Στο σημείο της $\displaystyle A\left( {1,0} \right)$ , έχει εφαπτομένη την ευθεία $\displaystyle y = 0$ , άρα είναι $\displaystyle f\left( x \right) \ge 0$ για κάθε $\displaystyle x \in R$ με το «ίσον», όταν x =1

.

Ανισότητα

Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση