Μέγιστη Τιμή

mick7 · #1

Να βρείτε την μέγιστη τιμή της σταθεράς $\delta$ για την οποία ισχύει η ανισότητα.(χ,δ πραγματικοί)

$\display \sqrt{x-2}+\sqrt{7-x}\geq \delta$

#2

mick7 έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 16, 2022 6:02 pm
Να βρείτε την μέγιστη τιμή της σταθεράς $\delta$ για την οποία ισχύει η ανισότητα.(χ,δ πραγματικοί)

$\display \sqrt{x-2}+\sqrt{7-x}\geq \delta$

Ουσιαστικά η ερώτηση ζητά το ολικό ελάχιστο του αριστερού μέλους.

To πεδίο ορισμού είναι $[2,\. 7]$ . Για $x\in [2,\, 7]$ ισχύει προφανώς $(x-2)(7-x) \ge 0$ και άρα

$(x-2)+ (7-x) + 2\sqrt {(x-2)(7-x)} \ge (x-2)+ (7-x) +0=5$ .

Δηλαδή $\displaystyle{ ( \sqrt{x-2}+\sqrt{7-x} ) ^2 \ge 5}$ , ισοδύναμα $\sqrt{x-2}+\sqrt{7-x} \ge \sqrt 5$ .

Και επειδή έχουμε ισότητα όταν x=2

ή

, συμπεραίνουμε ότι το $\sqrt 5$ είναι το ολικό ελάχιστο της συνάρτησης (και άρα το μέγιστο του $\delta$ ).

mick7 · #3

Στην λύση μου το βγάζω ριζα10. Συμφωνεί και η γραφική. ριζα10=3.162

#4

mick7 έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 16, 2022 11:32 pm
Στην λύση μου το βγάζω ριζα10. Συμφωνεί και η γραφική. ριζα10=3.162

$\displaystyle \sqrt {x - 2} + \sqrt {7 - x} \leqslant \sqrt {10} .$ Δεν ζητάει όμως αυτό.

Το σωστό είναι αυτό που έγραψε ο Μιχάλης.

#5

Όπως επισημαίνει ο Γιώργος, η λύση μου είναι σωστή.

Είναι προφανές ότι αυτό που νομίζει ο mick7 είναι η λύση του "δυικού" προβλήματος:

Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της σταθεράς $\delta$ για την οποία ισχύει η ανισότητα.(χ,δ πραγματικοί)

$\display \sqrt{x-2}+\sqrt{7-x}{\color {red} \leq }\delta$

Ας δούμε την λύση αυτού: Με χρήση της ανισότητας $\sqrt a + \sqrt b \le \sqrt 2\sqrt {a+b}$ (άμεσο με ύψωση στο τετράγωνο ή με Cauchy-Schwarz) έχουμε

$\display \sqrt{x-2}+\sqrt{7-x} \le \sqrt 2\sqrt {x-2+7-x} = \sqrt {10}$ , με ισότητα όταν $x= \frac {9}{2}$ . Τελειώσαμε.

Και ένα σχόλιο: Αν δει κανείς το γράφημα του mick7 θα διαπιστώσει ότι επιβεβαιώνει και τις δύο λύσεις μου. Στο μεν αρχικό πρόβλημα βλέπουμε ότι το ελάχιστο είναι στα άκρα (τα x=2

ή

, που έγραψα) και στο δεύτερο πρόβλημα το μέγιστο είναι το μέσον του διαστήματος $[2,\,7]$ .

Μέγιστη Τιμή

Μέγιστη Τιμή

Re: Μέγιστη Τιμή

Re: Μέγιστη Τιμή

Re: Μέγιστη Τιμή

Re: Μέγιστη Τιμή

Μέλη σε σύνδεση