Μεγάλες κατασκευές 73

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 13148
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μεγάλες κατασκευές 73

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Ιαν 13, 2022 8:48 pm

Μεγάλες  κατασκευές  73.png
Μεγάλες κατασκευές 73.png (11.89 KiB) Προβλήθηκε 219 φορές
Κατασκευάστε ορθογώνιο τρίγωνο ABC , στο οποίο αν προεκτείνουμε την υποτείνουσα CB , κατά

τμήμα BD=BA και η διχοτόμος της \widehat{C} , τμήσει την AD στο S , να προκύψει : SB \perp CD .

Αν έχω λύση ; Φυσικά όχι :lol: ... Επιτρέπεται λοιπόν λύση με χρήση λογισμικού .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8368
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μεγάλες κατασκευές 73

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Ιαν 14, 2022 12:11 am

Έστω το BC = a σταθερό . Γράφω το σταθερό ημικύκλιο διαμέτρου BC και πάνω σ αυτό θα αναζητήσω το A, έστω δε ότι το βρήκα.

Ας είναι T η προβολή του A στη διάμετρο BC. Θέτω BA = BD = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BT = k\,\,\,,\,\,0 < k < a.
.
Μεγάλες κατασκευές 73_κατασκευή.png
Μεγάλες κατασκευές 73_κατασκευή.png (21.59 KiB) Προβλήθηκε 184 φορές
.
Επειδή από το Θ. διχοτόμων και Θ. Ευκλείδη : \left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{CD}}{{CA}} = \frac{{SD}}{{SA}} = \frac{{BD}}{{BT}} \hfill \\ 
  A{B^2} = BT \cdot BC \hfill \\  
\end{gathered}  \right. έχω: \left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{a + x}}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }} = \frac{x}{k} \hfill \\ 
  {x^2} = ka \hfill \\  
\end{gathered}  \right. απ όπου :

{x^3} + a{x^2} + {a^2}x - {a^3} = 0 που έχει μια πραγματική ρίζα : \boxed{x = \frac{a}{3}\left[ {\sqrt[3]{{17 + 3\sqrt {33} }} - \sqrt[3]{{ - 17 + 3\sqrt {33} }} - 1} \right]}.

Ο κύκλος \left( {B,x} \right) τέμνει το ημικύκλιο στο A.


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4349
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Βρυξέλλες

Re: Μεγάλες κατασκευές 73

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Παρ Ιαν 14, 2022 12:30 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Ιαν 13, 2022 8:48 pm
Μεγάλες κατασκευές 73.png Κατασκευάστε; :roll: ορθογώνιο τρίγωνο ABC , στο οποίο αν προεκτείνουμε την υποτείνουσα CB , κατά

τμήμα BD=BA και η διχοτόμος της \widehat{C} , τμήσει την AD στο S , να προκύψει : SB \perp CD .

Αν έχω λύση ; Φυσικά όχι :lol: ... Επιτρέπεται λοιπόν λύση με χρήση λογισμικού .


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 13148
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Μεγάλες κατασκευές 73

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Ιαν 14, 2022 9:08 am

Στάθη , για τον συγκεκριμένο φάκελο , το "κατασκευάστε" δεν έχει την συνήθη σημασία :lol:


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2198
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Μεγάλες κατασκευές 73

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Παρ Ιαν 14, 2022 9:28 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Ιαν 14, 2022 9:08 am
Στάθη , για τον συγκεκριμένο φάκελο , το "κατασκευάστε" δεν έχει την συνήθη σημασία :lol:
Καλημέρα σε όλους .Θανάση αναγνωρίζω την προσφορά σου εδω στο φόρουμ και το εχω πει πολλές φορές αλλα πρόσεξε αυτα τα θέματα κατασκευών με λογισμικό δεν είναι Γεωμετρία αλλα Τσελεμεντές όπως ελεγε κάποιος φίλος Μαθηματικός. Φυσικά αν δεν μας αρέσει κάτι το προσπερνάμε Καλή συνέχεια σε όλους


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 13148
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Μεγάλες κατασκευές 73

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Ιαν 14, 2022 9:46 am

STOPJOHN έγραψε:
Παρ Ιαν 14, 2022 9:28 am
... αυτά τα θέματα κατασκευών με λογισμικό δεν είναι Γεωμετρία ...
Συμφωνώ απολύτως , γι' αυτό και συνήθως τα τοποθετώ σ' αυτόν τον φάκελο .

Πάντως όταν ένα πρόβλημα έχει λύση , η οποία δεν είναι κατασκευάσιμη με κανόνα

και διαβήτη , δεν παύει να έχει την αξία του . Η όμορφη λύση του Νίκου παραπάνω

το επιβεβαιώνει ...


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4349
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Βρυξέλλες

Re: Μεγάλες κατασκευές 73

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Παρ Ιαν 14, 2022 10:40 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Ιαν 14, 2022 9:08 am
Στάθη , για τον συγκεκριμένο φάκελο , το "κατασκευάστε" δεν έχει την συνήθη σημασία :lol:
Καλημέρα Θανάση

Οφείλω να ομολογήσω οτι δεν διασκέδασα καθόλου με το " πρόβλημα " λόγω του τίτλου του.

Στην όμορφη κοπελιά που φέρει το όνομα Γεωμετρία νομίζω οτι οφείλουμε να είμαστε πιο προσεκτικοί

Έκανα μια προσπάθεια τελευταία να της δώσω τη θέση που της αξίζει κατα την ταπεινή μου άποψη θέτοντας μια σειρά " κλεμμένων " συνθετικών θεμάτων και πράγματι απόλαυσα λύσεις απο ενα ΓΙΓΑΝΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΗ όλων των εποχών ( φυσικά και μιλάω για τον Κώστα το Βήττα ).

Γιατι σε καθε συνθετική λύση δεν απολαμβάνω το σχήμα αλλά τη διαδρομή του μυαλού του ΜΑΣΤΟΡΑ που " ξεκλειδώνει " τον " κρυμμένο θυσαυρό ".

Η γεωμετρία εχει υποστεί τεράστιο βιασμό στα σχολεία ( περικοπή ύλης , θεωρήματα χωρις την αποδειξη κλπ) απο τους " αρμόδιους "

Προφανώς και το σύστημα δεν θέλει τα παιδιά μας να σκέφτονται και να προβληματίζονται

Ειναι πιο εύκολα " διαχειρίσιμος " ένας μη σκεφτόμενος

Έτσι λοιπόν προσπαθούν να υποβαθμίσουν και το μεγαλύτερο λογικό κατασκεύασμα όλων των εποχών που ειναι η Ευκλείδια γεωμετρία

Ας μην την αποτελειώσουμε και εμείς με λογαριασμούς και λογισμικά

Ας της συμπεριφερθούμε όπως της αρμόζει με συνθετικά προβλήματα ακονίζοντας το μυαλό μας , δείχνοντας αυτό το δρόμο στους νεώτερους και ίσως το κέρδος για μας ειναι η αποφυγή του Αλτσχάιμερ μαζί με την ηδονή της λύσης

Και πάλι καλημέρα και καλή μας χρονιά με υγεία και υγεία και προπάντων με υγεία

Γιατι δυο πράγματα αξίζουν στη ζωή κατα τη γνώμη μου ( η υγεία και το σεξ 😀 )


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 13148
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Μεγάλες κατασκευές 73

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Ιαν 14, 2022 11:26 am

Στάθη σε παραπέμπω στο πρώτο θέμα της σειράς : "Μεγάλες κατασκευές " , εδώ .

Η σκέψη ήταν να προσεγγίσουμε προβλήματα που δεν λύνονται με κανόνα και διαβήτη , τα οποία όμως

μπορούν να λυθούν διαφορετικά . Οι λύσεις αυτές παρότι δεν έχουν την κλασική ομορφιά , παρουσιάζουν

ενδιαφέρον ( κυρίως όταν τα μαθηματικά καλούνται να λύσουν πρακτικά προβλήματα ) .

Ο τίτλος λοιπόν είχε τότε ειρωνική απόχρωση . Βέβαια στην πορεία ενέταξα σ' αυτήν την σειρά και

ασκήσεις αληθινών κατασκευών . Ας θεωρηθεί λοιπόν ως μια προσπάθεια να βρεθεί ο λύτης στην θέση

να αποφανθεί αν το τεθέν πρόβλημα λύνεται ή όχι με κανόνα και διαβήτη .

Η τοποθέτηση του θέματος , στον φάκελο : "Διασκεδαστικά Μαθηματικά" , υπονοεί πως όχι ...


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11173
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μεγάλες κατασκευές 73

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Ιαν 14, 2022 1:30 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Ιαν 13, 2022 8:48 pm
Μεγάλες κατασκευές 73.pngΚατασκευάστε ορθογώνιο τρίγωνο ABC , στο οποίο αν προεκτείνουμε την υποτείνουσα CB , κατά

τμήμα BD=BA και η διχοτόμος της \widehat{C} , τμήσει την AD στο S , να προκύψει : SB \perp CD .

Αν έχω λύση ; Φυσικά όχι :lol: ... Επιτρέπεται λοιπόν λύση με χρήση λογισμικού .
Μεγάλες κατασκευές 73.png
Μεγάλες κατασκευές 73.png (13.47 KiB) Προβλήθηκε 104 φορές
Βρίσκω \displaystyle a = b\left( {\sqrt[3]{{\frac{{9 - \sqrt {33} }}{{36}}}} + \sqrt[3]{{\frac{{9 + \sqrt {33} }}{{36}}}}} \right). Η λύση το απογευματάκι. Δώρο το ισοσκελές BES :lol:


Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1276
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Re: Μεγάλες κατασκευές 73

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Παρ Ιαν 14, 2022 3:57 pm

Στάθη είναι και το φαγητό.
Διότι εάν κάνεις μόνο sex και δεν τρως, τότε τι υγεία θα έχεις ;


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11173
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μεγάλες κατασκευές 73

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Ιαν 14, 2022 6:42 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Ιαν 13, 2022 8:48 pm
Μεγάλες κατασκευές 73.pngΚατασκευάστε ορθογώνιο τρίγωνο ABC , στο οποίο αν προεκτείνουμε την υποτείνουσα CB , κατά

τμήμα BD=BA και η διχοτόμος της \widehat{C} , τμήσει την AD στο S , να προκύψει : SB \perp CD .

Αν έχω λύση ; Φυσικά όχι :lol: ... Επιτρέπεται λοιπόν λύση με χρήση λογισμικού .
Φέρνω ST\bot CA και έστω E το σημείο τομής των AS, BA. Θέτω AS=x, SD=y.
Μεγάλες κατασκευές 73.β.png
Μεγάλες κατασκευές 73.β.png (13.07 KiB) Προβλήθηκε 51 φορές
Λόγω της διχοτόμου είναι, \displaystyle \frac{{AE}}{{EB}} = \frac{b}{a} = \frac{{CA}}{{CT}} = \frac{{AE}}{{ST}} \Leftrightarrow SB = ST = BE = \frac{{ac}}{{a + b}}

\displaystyle AB = BD = c \Rightarrow {c^2} = B{S^2} + xy \Leftrightarrow xy = {c^2}\left( {1 - \frac{{{a^2}}}{{{{(a + b)}^2}}}} \right)\mathop  \Leftrightarrow \limits^{{c^2} = {a^2} - {b^2}} \boxed{xy = \frac{{b(a - b)(2a + b)}}{{(a + b)}}} (1)

\displaystyle \frac{x}{y} = \frac{b}{{a + c}} \Leftrightarrow xy = \frac{b}{{a + c}}{y^2} = \frac{b}{{a + c}}({c^2} + B{S^2}) \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow \boxed{xy = \frac{{b(a - b)(2{a^2} + 2ab + {b^2})}}{{(a + c)(a + b)}}} (2)

Από (1) και (2), \displaystyle c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  = \frac{{ab + {b^2}}}{{2a + b}} \Leftrightarrow 2{a^3} - 2{b^2}a - b^3 = 0\mathop  \Leftrightarrow \limits^{\frac{a}{b} = t} \boxed{{t^3} - t = \frac{1}{2}} που λύνεται χωρίς

λογισμικό με το τύπο των \displaystyle {\rm{Cardano}} - {\rm{Tartaglia}} και δίνει \displaystyle t = \sqrt[3]{{\frac{1}{4} - \sqrt {\frac{1}{{16}} - \frac{1}{{27}}} }} + \sqrt[3]{{\frac{1}{4} + \sqrt {\frac{1}{{16}} - \frac{1}{{27}}} }}

Με λίγο συμμάζεμα τώρα, \boxed{a = b\left( {\sqrt[3]{{\frac{{9 - \sqrt {33} }}{{36}}}} + \sqrt[3]{{\frac{{9 + \sqrt {33} }}{{36}}}}} \right)}


Φυσικά δεν μιλάμε για Γεωμετρική κατασκευή. Πλην όμως έχουμε ακριβή λύση. Με ή χωρίς λογισμικό δεν έχει σημασία. Το

λογισμικό δεν είναι εχθρός μας. Αντίθετα, σε πολλές περιπτώσεις μας διευκολύνει. Γι' αυτό, μην πυροβολείτε τον πιανίστα ;)


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης